Лест­ни­ца в бес­ко­неч­ность

совместно с Сергеем Петровичем Коноваловым

Видео

00:00|00:00

Картинки

В ка­ком ме­сте нуж­но взять кир­пи­чик, чтобы он не пе­ре­ве­ши­вал ни в ка­кую сто­ро­ну? Ко­неч­но, по­се­ре­дине. Центр тя­же­сти од­но­го кир­пи­ча на­хо­дит­ся на сред­ней ли­нии. Зна­чит, этот кир­пич мож­но по­ло­жить на дру­гой, сме­стив от­но­си­тель­но ниж­не­го на по­ло­ви­ну дли­ны, и он не упа­дёт.

А в ка­ком ме­сте нуж­но под­ни­мать по­стро­ен­ную си­сте­му? Нетруд­но по­счи­тать, что центр тя­же­сти на­шей кон­струк­ции из двух кир­пи­чей на­хо­дит­ся на пря­мой, сме­щён­ной на 1/4 дли­ны кир­пи­ча. Дей­стви­тель­но, центр тя­же­сти верх­не­го кир­пи­ча про­еци­ру­ет­ся на гра­ни­цу ниж­не­го, та­кая же мас­са рас­по­ло­же­на по­се­ре­дине ниж­не­го кир­пи­ча. Зна­чит, центр тя­же­сти си­сте­мы на­хо­дит­ся ров­но по­се­ре­дине по­ло­ви­ны кир­пи­ча, т.е. на рас­сто­я­нии 1/4 дли­ны от края.

Трак­тор при­во­зит ещё один кир­пич. Как мы уже по­счи­та­ли, верх­ние два мо­гут быть сдви­ну­ты от­но­си­тель­но него на од­ну чет­верть дли­ны.

Ба­боч­ка — су­ще­ство лёг­кое, по­груз­чи­ку при­ят­но по­иг­рать с ней. Но вот она са­дит­ся на кир­пи­чи. Ес­ли она се­ла в точ­ку, ко­то­рая про­еци­ру­ет­ся на ниж­ний кир­пич, то по­стро­ен­ная лест­ни­ца не раз­ва­лит­ся. Но вот она пе­ре­ле­те­ла и се­ла чуть пра­вее, и лест­ни­ца на­ча­ла раз­ва­ли­вать­ся. По­груз­чи­ку при­хо­дит­ся то­ро­пить­ся, чтобы под­дер­жать по­стро­ен­ную кон­струк­цию и не дать упасть. Это ещё раз по­ка­зы­ва­ет, что сдви­ги на 1/2 и 1/4   дли­ны кир­пи­чей яв­ля­ют­ся мак­си­маль­ны­ми, ко­гда кон­струк­ция ещё устой­чи­ва без це­мен­та, а толь­ко под дей­стви­ем си­лы тя­же­сти кир­пи­чи­ков.

А где на­хо­дит­ся центр тя­же­сти си­сте­мы из трёх кир­пи­чей? Центр тя­же­сти си­сте­мы верх­них двух кир­пи­чей про­еци­ру­ет­ся на са­мую гра­ни­цу ниж­не­го. Его же центр тя­же­сти на­хо­дит­ся по­се­ре­дине. Но те­перь мас­сы, при­ло­жен­ные к этим двум точ­кам, неоди­на­ко­вые — спра­ва мас­са двух кир­пи­чей, а сле­ва толь­ко од­но­го. Зна­чит, ли­ния, со­дер­жа­щая центр тя­же­сти си­сте­мы трёх кир­пи­чей с рас­смат­ри­ва­е­мы­ми сдви­га­ми, де­лит рас­сто­я­ние меж­ду по­ло­ви­ной кир­пи­ча и кра­ем в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от цен­тра. Т.е. про­хо­дит на рас­сто­я­нии 1/6 дли­ны кир­пи­ча от края.

Та­ким ме­то­дом мож­но по­счи­тать, что, не же­лая поль­зо­вать­ся це­мен­том, мы мо­жем стро­ить лест­ни­цу, сдви­гая си­сте­му из верх­них n кир­пи­чей от­но­си­тель­но края ниж­не­го на 1/(2n) дли­ны кир­пи­ча. Так мы и бу­дем стро­ить, по­лу­чая на каж­дом ша­ге мак­си­маль­ный воз­мож­ный сдвиг по го­ри­зон­та­ли.

Рас­смот­рим пер­вые сдви­ги уже по­стро­ен­ной лест­ни­цы. Это 1/2, 1/4, 1/6, 1/8. Не тро­гая пер­вые два чле­на, сгруп­пи­ру­ем 1/6 и 1/8, как ма­те­ма­ти­ки го­во­рят, в «блок». За­дви­нем верх­ний кир­пи­чик так, чтобы все сдви­ги в бло­ке бы­ли оди­на­ко­вые и рав­ня­лись наи­мень­ше­му, т.е. 1/8. То­гда сум­мар­ный сдвиг по­лу­чит­ся 2·1/8=1/4. Та­ким об­ра­зом, сдвиг по го­ри­зон­та­ли, да­ва­е­мый этим бло­ком, боль­ше (мы же за­дви­га­ли один кир­пи­чик) 1/4 дли­ны кир­пи­ча.

Как раз­би­вать на бло­ки на­шу лест­ни­цу — в на­шем рас­по­ря­же­нии. И сле­ду­ю­щий блок, ко­то­рый мы рас­смот­рим, бу­дет со­сто­ять из че­ты­рёх кир­пи­чи­ков. Это даст нам об­щий сдвиг на 1/10+1/12+1/14+1/16. Чтобы оце­нить сдвиг в каж­дом бло­ке, бу­дем по­сту­пать оди­на­ко­во. По­вто­рим дей­ствие, сде­лан­ное в пер­вом бло­ке — за­дви­нем верх­ние кир­пи­чи­ки так, чтобы их сдвиг рав­нял­ся наи­мень­ше­му в бло­ке. По­лу­чим, что к го­ри­зон­таль­ной длине лест­ни­цы че­ты­ре ра­за при­бав­ля­ет­ся по 1/16, т.е. 4•1/16=1/4 дли­ны кир­пи­ча. Зна­чит, сдвиг по го­ри­зон­та­ли, да­ва­е­мый этим бло­ком, то­же боль­ше 1/4 дли­ны кир­пи­ча.

Вы уже усмот­ре­ли об­щую схе­му? Сле­ду­ю­щий блок бу­дет со­сто­ять из 23 кир­пи­чи­ков, и наи­мень­ший сдвиг бу­дет на 1/25 дли­ны кир­пи­ча. Со­от­вет­ствен­но, об­щий сдвиг, да­ва­е­мый этим бло­ком, бу­дет то­же боль­ше 1/4=23•1/25.

Та­ким спо­со­бом мож­но раз­бить всю на­шу лест­ни­цу на бло­ки. Блок с но­ме­ром n бу­дет со­сто­ять из 2n кир­пи­чи­ков, и наи­мень­ший сдвиг в нём бу­дет на 1/2n+2 дли­ны кир­пи­ча. Об­щая дли­на бло­ка бу­дет боль­ше чем 2n•1/2n+2=1/4.

До­мно­жим каж­дый член ря­да на 2, а за­тем со­кра­тим дро­би. Мы по­лу­чим ряд 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+...+1/n+... Этот ряд на­зы­ва­ет­ся гар­мо­ни­че­ским. Он иг­ра­ет боль­шую роль в ма­те­ма­ти­ке, и в ка­ком-то смыс­ле яв­ля­ет­ся по­гра­нич­ным. Ес­ли вы бу­де­те стро­ить лест­ни­цу (уже с ис­поль­зо­ва­ни­ем це­мен­та) со сдви­га­ми боль­ши­ми, чем 1/n (т.е. в зна­ме­на­те­ле бу­дет сто­ять чис­ло мень­ше n), то та­кая лест­ни­ца уй­дёт по го­ри­зон­та­ли в бес­ко­неч­ность.

В ма­те­ма­ти­ке по­доб­ное свой­ство на­зы­ва­ют рас­хо­ди­мо­стью ря­да — ка­кое бы ни бы­ло за­ра­нее за­да­но боль­шое чис­ло, все­гда мож­но взять столь­ко чле­нов ря­да, что их сум­ма бу­дет боль­ше за­дан­но­го чис­ла. Один из кри­те­ри­ев рас­хо­ди­мо­сти — срав­не­ние с гар­мо­ни­че­ским ря­дом.

Уда­ля­ясь, ма­шин­ки бе­се­ду­ют:
— Уди­ви­тель­но, неуже­ли лест­ни­ца ока­жет­ся и над этим ме­стом?
— Мы же по­ка­за­ли, что мож­но взять сколь угод­но мно­го бло­ков, каж­дый по длине боль­ше 1/4 дли­ны кир­пи­ча...

Ли­те­ра­ту­ра

В. А. Уф­на­ров­ский. Ма­те­ма­ти­че­ский ак­ва­ри­ум. Из­да­ние 3-е, ис­прав­лен­ное и до­пол­нен­ное. — М.: МЦНМО, 2014.

Обсуждение (сообщений: 10)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке