Те­ни

совместно с Алексеем Яковлевичем Канелем-Беловым

Возь­мём про­жек­тор, све­тя­щий па­рал­лель­ны­ми лу­ча­ми. То, что у ку­ба бы­ва­ет тень в ви­де квад­ра­та, оче­вид­но. А ка­ко­во наи­боль­шее чис­ло вер­шин мно­го­уголь­ни­ка, ко­то­рый мо­жет яв­лять­ся те­нью ку­ба? Ес­ли диа­го­наль ку­ба па­рал­лель­на лу­чам све­та, то те­нью бу­дет пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник!

Раз­вер­нём про­жек­тор с экра­ном и по­ме­стим за экран некое те­ло. Тень на экране-шир­ме — квад­рат. Обя­за­но ли на­ше те­ло быть ку­бом?

До­ба­вим экран и про­жек­тор в на­прав­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном пер­во­му. Те­перь уже две ор­то­го­наль­ные (пер­пен­ди­ку­ляр­ные) про­ек­ции — квад­ра­ты. Толь­ко ли куб мо­жет да­вать та­кие те­ни?

А ес­ли три ор­то­го­наль­ные про­ек­ции — квад­ра­ты? Бы­ва­ет ли те­ло, от­лич­ное от ку­ба, име­ю­щее три ор­то­го­наль­ные те­ни в ви­де квад­ра­тов?

Лег­ко при­ду­мать невы­пук­лые те­ла — на­при­мер, куб с изъ­я­на­ми — да­ю­щие та­кие про­ек­ции. А ес­ли при изу­че­нии во­про­са огра­ни­чить­ся рас­смот­ре­ни­ем толь­ко вы­пук­лых тел, или да­же ещё бо­лее уз­ко­го клас­са — пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков?

Ока­зы­ва­ет­ся, что бы­ва­ет да­же пра­виль­ный мно­го­гран­ник, от­лич­ный от ку­ба, да­ю­щий те­ни в ви­де квад­ра­тов в трёх пер­пен­ди­ку­ляр­ных на­прав­ле­ни­ях.

Дей­стви­тель­но, в куб мож­но впи­сать пра­виль­ный тет­ра­эдр! Че­ты­ре вер­ши­ны тет­ра­эд­ра бу­дут сов­па­дать с вер­ши­на­ми ку­ба. Все рёб­ра тет­ра­эд­ра бу­дут яв­лять­ся диа­го­на­ля­ми гра­ней ку­ба и, сле­до­ва­тель­но, бу­дут рав­ны меж­ду со­бой.

Ес­ли по­смот­реть через ка­кую-ли­бо грань ку­ба, то так рас­по­ло­жен­ный пра­виль­ный тет­ра­эдр «за­ни­ма­ет» всю про­ек­цию ку­ба вдоль на­прав­ле­ния, пер­пен­ди­ку­ляр­но­го гра­ни.

Зна­чит, ес­ли куб рас­по­ло­жен так, что три его ор­то­го­наль­ные про­ек­ции — квад­ра­ты, т.е. экра­ны па­рал­лель­ны гра­ням ку­ба, то и пра­виль­ный тет­ра­эдр, впи­сан­ный в него, бу­дет да­вать те же са­мые те­ни — три квад­ра­та.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке