За­да­ча Том­со­на

совместно с Владимиром Александровичем Юдиным

Видео

00:00|00:00

Картинки

Зафиксируем несколько зарядовЧем ближе заряды, тем больше сила их взаимодействияРезультирующая сила равна сумме всех силРазложим вектор силы на две составляющие: перпендикулярную к сфере и касательнуюДвижение останавливается, когда для каждого заряда сила, действующая на него, перпендикулярна сфереN=2: в диаметрально противоположных точкахN=3 — в вершинах правильного треугольника, вписанного в большую окружностьN=4 — в вершинах правильного тетраэдраN=6 — в вершинах правильного октаэдраN=12 — в вершинах икосаэдраЕсли «свернуть голову» кубу, т. е. повернуть одно основание относительно другого на 45°......то получится антипризмаРассмотрим первый нерешённый случай — случай пяти электронов на сфереРасположатся они в вершинах правильного пятиугольникаКонфигурация так и останется четырехугольной пирамидойВ размерности 2 — в вершинах правильного N–угольника

По­ме­стим на сфе­ру $N$ оди­на­ко­вых за­ря­дов. К ка­ким рас­по­ло­же­ни­ям бу­дут стре­мить­ся за­ря­ды, пы­та­ясь ми­ни­ми­зи­ро­вать по­тен­ци­аль­ную энер­гию си­сте­мы?

Дан­ная за­да­ча воз­ник­ла у Дж. Дж. Том­со­на при изу­че­нии пла­не­тар­ной мо­де­ли ато­ма. На ру­бе­же XIX и XX ве­ков он про­во­дил экс­пе­ри­мен­ты по на­хож­де­нию наи­луч­ших рас­по­ло­же­ний для неболь­ших ко­ли­честв за­ря­дов.

Джо­сеф Джон Том­сон (J. J. Thomson) — ан­глий­ский фи­зик, ро­дил­ся 18 де­каб­ря 1856 го­да. В 1884 го­ду из­бран тре­тьим Cavendish Professor. Яв­лял­ся ру­ко­во­ди­те­лем Cavendish Laboratory, Cambridge. В 1897 го­ду экс­пе­ри­мен­тал­ьно от­крыл су­щест­во­ва­ние элек­тро­нов, а в 1906 го­ду по­лу­чил за это Но­бе­лев­скую пре­мию. Умер 30 ав­гус­та 1940 го­да. Се­ме­ро его ас­сис­тен­тов ста­ли лау­реа­та­ми Но­бе­лев­ских пре­мий.

По­сле по­яв­ле­ния ком­пью­те­ров про­во­ди­лось мно­же­ство чис­лен­ных экс­пе­ри­мен­тов. Од­на­ко толь­ко в кон­це XX ве­ка неко­то­рые част­ные слу­чаи бы­ли ре­ше­ны ма­те­ма­ти­че­ски стро­го.

Рас­смот­рим, под дей­стви­ем ка­ких сил дви­га­ют­ся элек­тро­ны в за­да­че. Для это­го за­фик­си­ру­ем несколь­ко за­ря­дов и рас­смот­рим си­лы, ко­то­рые бу­дут дей­ство­вать на по­движ­ный за­ряд.

Вза­и­мо­дей­ствие двух за­ря­дов, на­хо­дя­щих­ся в трёх­мер­ном про­стран­стве, опре­де­ля­ет­ся по­тен­ци­а­лом Нью­то­на, об­рат­но про­пор­цио­наль­ным рас­сто­я­нию меж­ду за­ря­да­ми. Зна­чит, чем бли­же рас­по­ло­же­ны за­ря­ды, тем боль­ше си­ла их вза­и­мо­дей­ствия.

Ре­зуль­ти­ру­ю­щая си­ла рав­на сум­ме всех сил, дей­ству­ю­щих на рас­смат­ри­ва­е­мый по­движ­ный за­ряд. Раз­ло­жим век­тор си­лы на две со­став­ля­ю­щие: пер­пен­ди­ку­ляр­ную к сфе­ре и ка­са­тель­ную. Пер­пен­ди­ку­ляр­ная со­став­ля­ю­щая пы­та­ет­ся вы­толк­нуть за­ряд со сфе­ры. Зна­чит, на дви­же­ние элек­тро­на в за­да­че Том­со­на вли­я­ния она не ока­зы­ва­ет. Ка­са­тель­ная со­став­ля­ю­щая опре­де­ля­ет на­прав­ле­ние и ско­рость дви­же­ния за­ря­да в сле­ду­ю­щий мо­мент.

Дви­же­ние сво­бод­но­го за­ря­да пре­кра­тит­ся, ко­гда си­ла, дей­ству­ю­щая на него, бу­дет пер­пен­ди­ку­ляр­на сфе­ре (т.е. ка­са­тель­ная со­став­ля­ю­щая си­лы бу­дет рав­на ну­лю).

В слу­чае си­сте­мы сво­бод­ных за­ря­дов дви­же­ние оста­нав­ли­ва­ет­ся, ко­гда для каж­до­го за­ря­да си­ла, дей­ству­ю­щая на него, пер­пен­ди­ку­ляр­на сфе­ре.

Рас­по­ло­жим на сфе­ре $N$ оди­на­ко­вых сво­бод­ных за­ря­дов и по­смот­рим, ка­кую кон­фи­гу­ра­цию бу­дет стре­мить­ся за­нять эта си­сте­ма.

Рас­смот­рим слу­чаи, ко­гда экс­тре­маль­ность по­лу­чен­ных кон­фи­гу­ра­ций уда­лось до­ка­зать ма­те­ма­ти­че­ски стро­го.

$N=2$.  Два элек­тро­на рас­по­ло­жат­ся в диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точ­ках.

$N=3$. Через лю­бые три точ­ки мож­но про­ве­сти плос­кость. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет­ся со сфе­рой по окруж­но­сти. Зна­чит, три элек­тро­на рас­по­ла­га­ют­ся на окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, на боль­шой окруж­но­сти сфе­ры в вер­ши­нах пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка.

$N=4$. Че­ты­ре элек­тро­на рас­по­ло­жат­ся в вер­ши­нах пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра.

При $N=2, 3, 4$ в экс­тре­маль­ной кон­струк­ции все по­пар­ные рас­сто­я­ния меж­ду элек­тро­на­ми оди­на­ко­вы. Зна­чит, для до­ка­за­тель­ства экс­тре­маль­но­сти при­ве­дён­ных кон­фи­гу­ра­ций мож­но вос­поль­зо­вать­ся клас­си­че­ски­ми нера­вен­ства­ми о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском, сред­нем гео­мет­ри­че­ском и сред­нем гар­мо­ни­че­ском. При оцен­ке сни­зу по­тен­ци­аль­ной энер­гии си­сте­мы в этих слу­ча­ях пе­ре­чис­лен­ные нера­вен­ства да­ют точ­ные оцен­ки, так как на экс­тре­маль­ных кон­струк­ци­ях об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ства.

$N=6$. Шесть элек­тро­нов рас­по­ло­жат­ся в вер­ши­нах пра­виль­но­го ок­та­эд­ра (эту кон­фи­гу­ра­цию мож­но мыс­лить как точ­ки пе­ре­се­че­ния осей ко­ор­ди­нат трёх­мер­но­го про­стран­ства со сфе­рой).

$N=12$. Две­на­дцать элек­тро­нов рас­по­ло­жат­ся в вер­ши­нах ико­са­эд­ра — пра­виль­но­го мно­го­гран­ни­ка с 20 тре­уголь­ны­ми гра­ня­ми и 12 вер­ши­на­ми.

Уди­ви­тель­но, но спу­стя век по­сле по­ста­нов­ки за­да­ча Том­со­на в трёх­мер­ном про­стран­стве ре­ше­на толь­ко для слу­ча­ев 2, 3, 4, 6 и 12 элек­тро­нов на сфе­ре. В дру­гих слу­ча­ях экс­тре­маль­ность ка­кой-ли­бо кон­фи­гу­ра­ции ма­те­ма­ти­че­ски не до­ка­за­на.

В ка­че­стве ре­ше­ния за­да­чи Том­со­на мы встре­ти­ли три из пя­ти пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков — тет­ра­эдр, ок­та­эдр и ико­са­эдр. А что же да­ют два дру­гих пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ка?

$N=8$. В слу­чае вось­ми элек­тро­нов за­да­ча не ре­ше­на. Од­на­ко лег­ко по­ка­зать, что куб не яв­ля­ет­ся наи­луч­шим (в смыс­ле ми­ни­му­ма по­тен­ци­аль­ной энер­гии) рас­по­ло­же­ни­ем. Ес­ли «свер­нуть го­ло­ву» ку­бу, т.е. по­вер­нуть од­но ос­но­ва­ние от­но­си­тель­но дру­го­го на $45^\circ$, по­лу­чит­ся ан­ти­приз­ма. Внут­ри каж­до­го из двух ос­но­ва­ний энер­гия вза­и­мо­дей­ствия за­ря­дов не из­ме­ня­ет­ся, од­на­ко рас­сто­я­ние меж­ду элек­тро­на­ми раз­ных ос­но­ва­ний уве­ли­чи­ва­ет­ся. Зна­чит, ан­ти­приз­ма луч­ше, чем куб, од­на­ко яв­ля­ет­ся ли она или ка­кая-то дру­гая кон­фи­гу­ра­ция наи­луч­шим рас­по­ло­же­ни­ем элек­тро­нов, не до­ка­за­но.

$N=20$. В слу­чае 20 элек­тро­нов, так же как и в слу­чае вось­ми, мож­но при­ве­сти рас­по­ло­же­ние, ко­то­рое об­ла­да­ет мень­шей по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей, чем до­де­ка­эдр.

Рас­смот­рим пер­вый нере­шён­ный слу­чай — слу­чай пя­ти элек­тро­нов на сфе­ре. Чис­лен­ные рас­чё­ты по­ка­зы­ва­ют, что наи­луч­шее рас­по­ло­же­ние элек­тро­нов сле­ду­ю­щее: три элек­тро­на в вер­ши­нах пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в эк­ва­тор, и два элек­тро­на по по­лю­сам. Од­на­ко ма­те­ма­ти­че­ски до­ка­зать то, что эта кон­струк­ция яв­ля­ет­ся наи­луч­шей, по­ка не уда­ёт­ся.

На при­ме­ре пя­ти элек­тро­нов рас­смот­рим по­ня­тие рав­но­вес­ной кон­фи­гу­ра­ции.  За­да­ча Том­со­на со­сто­ит в на­хож­де­нии рас­по­ло­же­ния за­ря­дов, со­от­вет­ству­ю­ще­го гло­баль­но­му ми­ни­му­му по­тен­ци­аль­ной энер­гии си­сте­мы. Су­ще­ству­ют и дру­гие кон­фи­гу­ра­ции, при­дя к ко­то­рым си­сте­ма ста­би­ли­зи­ру­ет­ся. Они и на­зы­ва­ют­ся рав­но­вес­ны­ми. Од­на­ко энер­гия та­ких кон­фи­гу­ра­ций мо­жет быть не ми­ни­маль­ной. Кро­ме то­го, эти кон­фи­гу­ра­ции не яв­ля­ют­ся устой­чи­вы­ми: ес­ли по­ше­ве­лить один или несколь­ко за­ря­дов в ней, то кон­фи­гу­ра­ция рас­па­да­ет­ся.

Ес­ли из­на­чаль­но бро­шен­ные на сфе­ру элек­тро­ны все ока­за­лись на эк­ва­то­ре, то ни­ку­да с эк­ва­то­ра они не уй­дут (нет сил, вы­тал­ки­ва­ю­щих их с эк­ва­то­ра, все си­лы вза­и­мо­дей­ствия ле­жат в плос­ко­сти эк­ва­то­ра). Рас­по­ло­жат­ся они в вер­ши­нах пра­виль­но­го пя­ти­уголь­ни­ка.  

Рас­смот­рим ещё од­ну рав­но­вес­ную кон­фи­гу­ра­цию. Че­ты­ре элек­тро­на в вер­ши­нах квад­ра­та и один на пер­пен­ди­ку­ляр­ной к этой плос­ко­сти пря­мой. Кон­фи­гу­ра­ция так и оста­нет­ся че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­дой, по­до­брав наи­луч­шую для ми­ни­му­ма энер­гии вы­со­ту.

При уве­ли­че­нии чис­ла за­ря­дов ко­ли­че­ство рав­но­вес­ных кон­фи­гу­ра­ций стре­ми­тель­но рас­тёт. Это ослож­ня­ет ис­сле­до­ва­ние за­да­чи ме­то­да­ми чис­лен­но­го мо­де­ли­ро­ва­ния, да­же при ис­поль­зо­ва­нии мощ­ных совре­мен­ных ком­пью­те­ров.

Важ­ные при­ло­же­ния име­ет за­да­ча Том­со­на в про­стран­ствах дру­гих раз­мер­но­стей.

В слу­чае дву­мер­но­го про­стран­ства, т.е. плос­ко­сти, сфе­ра — это окруж­ность. Зна­чит, си­сте­ма $N$ оди­на­ко­вых за­ря­дов на­хо­дит­ся на окруж­но­сти. Пы­та­ясь ми­ни­ми­зи­ро­вать по­тен­ци­аль­ную энер­гию си­сте­мы, они рас­по­ло­жат­ся в вер­ши­нах пра­виль­но­го N-уголь­ни­ка.

В раз­мер­но­стях боль­ше трёх за­да­ча Том­со­на ма­те­ма­ти­че­ски стро­го ре­ше­на лишь в ред­ких слу­ча­ях.

Па­ф­ну­тий Льво­вич Че­бы­шев (1821—1894) — рус­ский ма­те­ма­тик и ме­ха­ник. На­чал ис­сле­до­ва­ния по но­вым нап­рав­ле­ни­ям в раз­ных об­лас­тях: тео­рии приб­ли­же­ния фун­кций, тео­рии ве­ро­ят­нос­тей, тео­рии чи­сел, ин­тег­раль­ном ис­чис­ле­нии и т.д. Соз­да­тель из­вест­ных ме­ха­низ­мов. Яв­лял­ся чле­ном Пе­тер­бург­ской, Бер­лин­ской и Бо­лон­ской ака­де­мий, Па­риж­ской Ака­де­мии на­ук, чле­ном-кор­ре­спон­ден­том Лон­дон­ско­го Ко­ро­лев­ско­го об­щес­тва, Швед­ской ака­де­мии на­ук.

На­при­мер, до­ка­за­но, что в че­ты­рёх­мер­ном про­стран­стве 120 элек­тро­нов рас­по­ло­жат­ся в вер­ши­нах пра­виль­но­го мно­го­гран­ни­ка, име­ю­ще­го со­от­вет­ству­ю­щее чис­ло вер­шин.

Некий ре­корд по­став­лен в 24-мер­ном про­стран­стве. Ми­ни­мум по­тен­ци­аль­ной энер­гии си­сте­мы из 196560 за­ря­дов на сфе­ре это­го про­стран­ства до­сти­га­ет­ся, ес­ли за­ря­ды рас­по­ло­же­ны в кон­цах ми­ни­маль­ных век­то­ров зна­ме­ни­той ре­шёт­ки Ли­ча.

Из­вест­ные точ­ные ре­ше­ния за­да­чи Том­со­на по­лу­че­ны ме­то­да­ми тео­рии при­бли­же­ния функ­ций. Эта об­ласть на­у­ки, раз­ви­тая рос­сий­ским ма­те­ма­ти­ком Па­ф­ну­ти­ем Льво­ви­чем Че­бы­ше­вым и его уче­ни­ка­ми, яв­ля­ет­ся мощ­ным ме­то­дом ре­ше­ния раз­но­го кру­га за­дач.

От­ме­тим, что в филь­ме не учи­ты­ва­лись ди­на­ми­че­ские эф­фек­ты, воз­ни­ка­ю­щие при дви­же­нии за­ря­дов. Та­кая мо­дель воз­мож­на, ес­ли меж­ду за­ря­да­ми и сфе­рой есть си­ла тре­ния.

Ак­ку­рат­но, с точ­ки зре­ния физи­ки, за­да­ча Том­со­на мо­жет быть сфор­му­ли­ро­ва­на так: в ка­кие точ­ки на сфе­ре нуж­но по­ме­стить $N$ оди­на­ко­вых за­ря­дов, чтобы кон­фи­гу­ра­ция со­от­вет­ство­ва­ла ми­ни­маль­ной по­тен­ци­аль­ной энер­гии си­сте­мы?

Ли­те­ра­ту­ра

L. L. Whyte. Unique arrangements of points on a sphere // The American Mathematical Monthly. 1952. V. 59. No. 9. P. 606—611.

В. А. Юдин. Ми­ни­мум по­тен­ци­аль­ной энер­гии то­чеч­ной си­сте­мы за­ря­дов // Дис­крет­ная ма­те­ма­ти­ка. 1992. Т. 4. Вып. 2. С. 115—121.

N. N. Andreev. One extremal property of the icosahedron // East Journal on Approximation. 1996. V. 2. No. 4. P. 301—304.

Н. Н. Ан­дре­ев, В. А. Юдин. Экс­тре­маль­ные рас­по­ло­же­ния то­чек на сфе­ре // Ма­те­ма­ти­че­ское про­све­ще­ние (тре­тья се­рия). 1997. Вып. 1. С. 115—121.
(В этой ста­тье при­ве­де­но на­уч­но-по­пуляр­ное из­ло­же­ние ре­ше­ний за­да­чи Том­со­на в трёх­мер­ном слу­чае. Ес­ли вы хо­ти­те ис­сле­до­вать за­да­чу, изу­че­ние ли­те­ра­ту­ры сто­ит на­чать с этой ста­тьи.)

Точ­ные ре­ше­ния част­ных слу­ча­ев за­да­чи в выс­ших раз­мер­но­стях и дру­гих по­тен­ци­а­лах:

А. В. Ко­лу­шов, В. А. Юдин. О кон­струк­ции Кор­ки­на—Зо­ло­та­рё­ва // Дис­крет­ная ма­те­ма­ти­ка. 1994. Т. 6. Вып. 1. С. 155—157.

A. V. Kolushov, V. A. Yudin. Extremal dispositions of points on a unit sphere // Analysis Mathematica. 1997. V. 23. No. 1.

Н. Н. Ан­дре­ев. Рас­по­ло­же­ние то­чек на сфе­ре с ми­ни­маль­ной энер­ги­ей // Тру­ды Ма­те­ма­ти­че­ско­го ин­сти­ту­та им. В. А. Стек­ло­ва РАН. 1997. Т. 219. С. 27—31.

Н. Н. Ан­дре­ев. Ми­ни­маль­ный ди­зайн 11-го по­ряд­ка на трёх­мер­ной сфе­ре // Ма­те­ма­ти­че­ские за­мет­ки. 2000. Т. 67. № 4. С. 489—497.

Обсуждение (сообщений: 5)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке