Ко­лёс­ная па­ра

Мно­гие меч­та­ли про­ка­тить­ся в ка­бине ма­ши­ни­ста по­ез­да мет­ро. На са­мом де­ле, ехать по пря­мой в тун­не­ле, ко­то­рый есть про­сто пря­мо­ли­ней­ный ци­линдр, не так увле­ка­тель­но. Раз­но­об­ра­зие вно­сят по­во­ро­ты.

А как по­во­ра­чи­ва­ют ва­го­ны мет­ро? Ведь пра­вое и ле­вое ко­ле­са жёст­ко скреп­ле­ны друг с дру­гом. Меж­ду тем, в по­во­ро­те ра­ди­ус внеш­не­го рель­са боль­ше ра­ди­у­са внут­рен­не­го, а зна­чит, и дли­на ду­ги окруж­но­сти, ко­то­рую долж­но про­хо­дить внеш­нее ко­ле­со, долж­на быть боль­ше пу­ти внут­рен­не­го ко­ле­са. При этом необ­хо­ди­мо, чтобы ни од­но из ко­лёс не про­скаль­зы­ва­ло от­но­си­тель­но рель­са.

Рас­смот­рим упро­щён­ную мо­дель, ко­то­рая всё же хо­ро­шо пе­ре­да­ёт суть про­ис­хо­дя­ще­го. Ко­лё­са в этой мо­де­ли — два оди­на­ко­вых усе­чён­ных ко­ну­са, жёст­ко со­еди­нён­ных осью. Про­филь ра­бо­чей по­верх­но­сти рель­са — ду­га окруж­но­сти. Ес­ли бы рель­сы укла­ды­ва­лись вер­ти­каль­но, то ис­пы­ты­ва­ли бы лиш­ние на­груз­ки — ко­ле­со да­вит на рельс пер­пен­ди­ку­ляр­но сво­ей по­верх­но­сти. По­это­му, фик­си­руя рель­сы в шпа­ле, их немно­го на­кло­ня­ют внутрь, чтобы ось бы­ла пер­пен­ди­ку­ляр­на по­верх­но­сти ко­ле­са-ко­ну­са.

Про­сле­дим за тем, как ко­лёс­ная па­ра про­хо­дит по­во­ро­ты. Ока­зы­ва­ет­ся, она сме­ща­ет­ся от­но­си­тель­но рельс!

Раз­бе­рём­ся, как устро­ен сам по­во­рот. По­сле пря­мо­го от­рез­ка пу­ти идёт вход в по­во­рот — уча­сток с пе­ре­мен­ным ра­ди­у­сом, по­том идёт ос­нов­ной уча­сток — по­сто­ян­но­го ра­ди­у­са, т. е. ду­га окруж­но­сти. Для то­го, чтобы пас­са­жи­ров не ки­да­ло из сто­ро­ны в сто­ро­ну при пе­ре­хо­де с од­но­го участ­ка на дру­гой, долж­но вы­пол­нять­ся очень силь­ное усло­вие — непре­рыв­ность вто­рой про­из­вод­ной тра­ек­то­рии пу­ти при пе­ре­хо­де меж­ду участ­ка­ми.

Ка­са­ние ко­ле­са-ко­ну­са и ра­бо­чей по­верх­но­сти рель­са про­ис­хо­дит по точ­ке. При по­во­ро­те точ­ка ка­са­ния сме­ща­ет­ся от­но­си­тель­но ко­ну­са. Про­ве­дём через точ­ки ка­са­ния окруж­но­сти. При цен­три­ро­ван­ном по­ло­же­нии ко­лёс­ной па­ры эти окруж­но­сти для внут­рен­не­го и внеш­не­го ко­ле­са оди­на­ко­вы. А при сме­щён­ном — окруж­ность для внут­рен­не­го ко­ле­са мень­ше, чем внеш­не­го. Та­ким об­ра­зом, мож­но счи­тать, что ко­лё­са име­ют пе­ре­мен­ный ра­ди­ус. И раз ра­ди­ус внут­рен­не­го ко­ле­са мень­ше ра­ди­у­са внеш­не­го, то, ко­гда ко­лё­са едут по рель­сам без про­скаль­зы­ва­ния, внут­рен­нее ко­ле­со про­хо­дит мень­ший путь, чем внеш­нее.

По­че­му же ко­лёс­ная па­ра сме­ща­ет­ся от­но­си­тель­но рельс в по­во­ро­те? Ока­зы­ва­ет­ся, ни­ка­кой физи­ки. Толь­ко гео­мет­рия, при этом очень кра­си­вая! Ко­гда рель­сы по­во­ра­чи­ва­ют, они са­ми вы­зы­ва­ют сме­ще­ние ко­лёс­ной па­ры ров­но на­столь­ко, на­сколь­ко нуж­но — так, чтобы внеш­нее и внут­рен­нее ко­лё­са ка­ти­лись без про­скаль­зы­ва­ния.

Хо­ро­шая мо­дель долж­на учи­ты­вать са­мые важ­ные свой­ства изу­ча­е­мых объ­ек­тов, а несу­ще­ствен­ные де­та­ли — опус­кать. Та­ко­ва и рас­смот­рен­ная мо­дель, но в жиз­ни всё слож­нее. По ГОСТу ра­бо­чая по­верх­ность ко­ле­са со­сто­ит из двух ко­ну­сов немно­го раз­но­го суже­ния. Есть ещё ре­бор­да — вы­ступ, пре­пят­ству­ю­щий со­ска­ки­ва­нию ко­ле­са с рель­са, гра­ни­ца ко­то­ро­го со­сто­ит из несколь­ких дуг окруж­но­стей. Ра­бо­чая по­верх­ность рель­са, ко­то­рая в рас­смот­рен­ной мо­де­ли бы­ла ду­гой окруж­но­сти, на са­мом де­ле — сим­мет­рич­ная склей­ка пя­ти дуг окруж­но­стей.

По­во­рот ко­лёс­ной па­ры со­ста­ва су­ще­ствен­но от­ли­ча­ет­ся от то­го, как по­во­ра­чи­ва­ют ко­лё­са ав­то­мо­би­ля, од­на­ко и в том, и в дру­гом слу­чае осо­бую роль иг­ра­ет та­кая кра­си­вая на­у­ка — гео­мет­рия.

Неко­то­рые ин­те­рес­но­сти:

Ко­лёс­ная па­ра име­ет мас­су око­ло тон­ны. Ес­ли же ко­лёс­ная па­ра ве­ду­щая, то на ней есть ещё непо­движ­ная от­но­си­тель­но оси ше­стер­ня, так что об­щая мас­са до­сти­га­ет по­чти по­лу­то­ра тонн. Диа­метр ко­ле­са — при­мер­но метр.

По стра­те­ги­че­ским со­об­ра­же­ни­ям в СССР стан­дарт рельс и ко­лёс­ных пар ва­го­нов мет­ро вы­бран та­кой же, как и для же­лез­но­до­рож­ных со­ста­вов. Ши­ри­на ко­леи — рас­сто­я­ние меж­ду внут­рен­ни­ми гра­ня­ми го­ло­вок рель­сов — в Рос­сии со­став­ля­ет 1520 мм.

Кру­тым счи­та­ет­ся по­во­рот с ра­ди­у­сом ме­нее 350 мет­ров. В та­ких по­во­ро­тах ши­ри­на ко­леи мо­жет быть чуть ши­ре стан­дарт­ной, но не бо­лее чем на 3 см.

Про­тя­жён­ность же­лез­ных до­рог в Рос­сии — при­мер­но 87 ты­сяч ки­ло­мет­ров. Про­тя­жён­ность ли­ний мет­ро в Москве в 2011 го­ду — при­мер­но 300 ки­ло­мет­ров.

Неко­то­рые точ­ки на­сто­я­ще­го ко­ле­са едут в об­рат­ную сто­ро­ну от­но­си­тель­но хо­да дви­же­ния по­ез­да. По­ду­май­те, ка­кие.

Обсуждение (сообщений: 2)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке