Пло­щадь кру­га. Све­де­ние к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Видео
Скачать
AVI video (768×576, 9.1 МБ)
MP4 video (768×576, 2.1 МБ)
В zip-архиве (AVI, 8.7 МБ)

00:00|00:00

Изображения

Пло­щадь кру­га ра­ди­у­са $R$ рав­на $S = \pi \cdot R^2$. Убе­дим­ся в этом, вос­поль­зо­вав­шись уме­ни­ем вы­чис­лять пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Со­бе­рём круг из кон­цен­три­че­ски рас­по­ло­жен­ных по­ло­сок, на­при­мер, ко­жи. Внеш­няя долж­на быть са­мой длин­ной, сле­ду­ю­щая чуть ко­ро­че и т.д. Дли­ну сто­ит под­би­рать так, чтобы при сги­ба­нии по­лу­чал­ся круг. На од­ном из ра­ди­у­сов схо­дят­ся кон­цы по­ло­сок.

Раз­вер­нем од­новре­мен­но все по­лос­ки и круг пре­вра­тит­ся в по­чти тре­уголь­ник. «По­чти», по­то­му что бо­ко­вые сто­ро­ны — не пря­мые ли­нии, а со­сто­ят из сту­пе­нек. В шко­ле про­хо­дит­ся несколь­ко фор­мул для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка (и все они да­ют оди­на­ко­вый ре­зуль­тат!). Вос­поль­зу­ем­ся од­ной из них — пло­щадь тре­уголь­ни­ка рав­на по­ло­вине про­из­ве­де­ния дли­ны сто­ро­ны (на­при­мер, ос­но­ва­ния) на дли­ну вы­со­ты, про­ве­ден­ной к этой сто­роне. Дли­на ос­но­ва­ния в на­шем слу­чае рав­на в точ­но­сти длине окруж­но­сти из­на­чаль­но­го кру­га, т.е. $2 \cdot \pi \cdot R$. А дли­на вы­со­ты есть про­сто ра­ди­ус кру­га. Та­ким об­ра­зом пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фигу­ры $S ≈ (1/2) \cdot (2 \cdot \pi \cdot R) \cdot R ≈ \pi \cdot R^2$.

Ис­поль­зо­ва­на фор­му­ла для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, од­на­ко по­лу­чив­ша­я­ся фигу­ра — не со­всем тре­уголь­ник, по­это­му и был на­пи­сан знак при­бли­жён­но­го ра­вен­ства. При этом по­нят­но, что ес­ли круг де­лать из всё бо­лее тон­ких по­ло­сок, то сту­пень­ки на бо­ко­вых сто­ро­нах бу­дут всё мень­ше. И в пре­де­ле, фигу­ра не бу­дет от­ли­чать­ся от тре­уголь­ни­ка, а зна­чит, та­кое рас­суж­де­ние вполне за­кон­но.