Па­ра­бо­ло­граф Ка­ва­лье­ри

Видео
Скачать
AVI video (768×576, 8.7 МБ)
MP4 video (768×576, 4.5 МБ)
В zip-архиве (AVI, 8.2 МБ)

00:00|00:00

Изображения

Кра­си­вый спо­соб ри­со­ва­ния па­ра­бо­лы при­ду­мал ита­льян­ский ма­те­ма­тик Бо­на­вен­ту­ра Ка­ва­лье­ри (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius, 1598—1657) ещё в XVII ве­ке.

Па­ра­бо­ло­граф Ка­ва­лье­ри со­сто­ит из трёх ча­стей: ли­ней­ки и двух жёст­ких пря­мых уг­лов, сто­ро­ны ко­то­рых име­ют про­ре­зи.

По непо­движ­ной от­но­си­тель­но ли­ста ли­ней­ке один пря­мой угол сколь­зит так, что его го­ри­зон­таль­ная сто­ро­на по­сто­ян­но со­при­ка­са­ет­ся с ли­ней­кой.

Вто­рой пря­мой угол об­ра­зу­ет с ли­ней­кой пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Вер­ши­на при пря­мом уг­ле снаб­же­на гри­фе­лем и сколь­зит по на­прав­ля­ю­щей про­ре­зи вер­ти­каль­ной сто­ро­ны пер­во­го пря­мо­го уг­ла. Две дру­гие сто­ро­ны вто­ро­го пря­мо­го уг­ла сколь­зят сво­и­ми про­ре­зя­ми по на­прав­ля­ю­щим штиф­там, один из ко­то­рых жёст­ко за­креп­лён на ли­ней­ке, а дру­гой — на го­ри­зон­таль­ной сто­роне по­движ­но­го уг­ла.

При дви­же­нии па­ра­бо­ло­гра­фа Ка­ва­лье­ри гри­фель ри­су­ет па­ра­бо­лу. Па­ра­мет­ром па­ра­бо­лы яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ние от штиф­та до вер­ши­ны пря­мо­го уг­ла, при­ле­га­ю­ще­го к ли­ней­ке. Ес­ли штифт пе­ре­ста­вить, кри­вая бу­дет дру­гой, но то­же па­ра­бо­лой.

До­ка­за­тель­ство то­го, что ри­су­е­мая кри­вая — па­ра­бо­ла, ос­но­ва­но на тео­ре­ме из совре­мен­но­го школь­но­го кур­са ма­те­ма­ти­ки. Сле­ду­ет рас­смот­реть тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный сто­ро­на­ми вто­ро­го пря­мо­го уг­ла и ли­ней­кой. В нём квад­рат дли­ны вы­со­ты (рас­сто­я­ние от гри­фе­ля до ли­ней­ки), опу­щен­ной на ги­по­те­ну­зу-ли­ней­ку, ра­вен про­из­ве­де­нию про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу. Про­ек­ция «пра­во­го» ка­те­та по кон­струк­ции па­ра­бо­ло­гра­фа фик­си­ро­ва­на и яв­ля­ет­ся па­ра­мет­ром, опре­де­ля­ю­щим па­ра­бо­лу.