Сед­ло­вая по­верх­ность: ги­пер­бо­ли­че­ский па­ра­бо­ло­ид

Видео
Скачать
AVI video (768×576, 41.4 МБ)
MP4 video (768×576, 11.4 МБ)
В zip-архиве (AVI, 15.4 МБ)

00:00|00:00

Изображения

Ги­пер­бо­ли­че­ский па­ра­бо­ло­ид — по­верх­ность, на­по­ми­на­ю­щая сед­ло. Она об­ра­зу­ет­ся при та­ком дви­же­нии па­ра­бо­лы с вет­вя­ми вниз, что её вер­ши­на сколь­зит по дру­гой, непо­движ­ной па­ра­бо­ле с вет­вя­ми вверх. Плос­ко­сти па­ра­бол в каж­дый мо­мент вре­ме­ни пер­пен­ди­ку­ляр­ны, оси па­рал­лель­ны.

При пе­ре­се­че­нии ги­пер­бо­ли­че­ско­го па­ра­бо­ло­и­да с лю­бой го­ри­зон­таль­ной плос­ко­стью по­лу­ча­ет­ся ги­пер­бо­ла. Ес­ли плос­кость про­хо­дит через центр сед­ла, то ги­пер­бо­ла вы­рож­да­ет­ся в па­ру пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых. (Ес­ли на эту плос­кость спро­еци­ро­вать ги­пер­бо­лу из па­рал­лель­но­го се­че­ния, то пря­мые бу­дут асимп­то­та­ми ги­пер­бо­лы‐про­ек­ции.)

Ока­зы­ва­ет­ся, ги­пер­бо­ли­че­ский па­ра­бо­ло­ид — ли­ней­ча­тая по­верх­ность, она так­же мо­жет быть об­ра­зо­ва­на дви­же­ни­ем пря­мой ли­нии!

Меж­ду дву­мя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми через рав­ные рас­сто­я­ния пу­стим на­бор от­рез­ков. По­вер­нём пря­мые во­круг цен­траль­но­го от­рез­ка в раз­ные сто­ро­ны. (При этом дли­ны всех от­рез­ков, кро­ме цен­траль­но­го, из­ме­нят­ся.) Так рас­по­ло­жен­ные в про­стран­стве от­рез­ки ле­жат на ги­пер­бо­ли­че­ском па­ра­бо­ло­и­де.

Эта по­верх­ность до­пус­ка­ет кра­си­вую ре­а­ли­за­цию в ви­де мо­де­ли из тру­бо­чек.

Гаус­со­ва кри­виз­на во всех точ­ках ги­пер­бо­ли­че­ско­го па­ра­бо­ло­и­да от­ри­ца­тель­на. Та­кие по­верх­но­сти на­зы­ва­ют сед­ло­вы­ми из-за ви­зу­аль­но­го сход­ства с сед­лом для вер­хо­вой ез­ды.