Груп­па ди­эд­ра

Видео
Скачать
AVI video (768×576, 31.1 МБ)
MP4 video (768×576, 10.2 МБ)
В zip-архиве (AVI, 14.2 МБ)

00:00|00:00

Изображения

Два зер­ка­ла, по­став­лен­ные как рас­пах­ну­тая книж­ка и пер­пен­ди­ку­ляр­ные ос­но­ва­нию, по­мо­гут по­нять, как ра­бо­та­ют ка­лей­до­ско­пы. От­ре­зок, мно­го­крат­но от­ра­зив­шись в этой зер­каль­ной кни­ге — дву­гран­ном зер­каль­ном уг­ле, — мо­жет пре­вра­тить­ся в лю­бой пра­виль­ный мно­го­уголь­ник.

Груп­па ди­эд­ра — груп­па сим­мет­рий (са­мо­сов­ме­ще­ний) пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, вклю­ча­ю­щей как вра­ще­ния, так и осе­вые сим­мет­рии. Все та­кие сим­мет­рии мо­гут быть по­лу­че­ны с по­мо­щью от­ра­же­ний.

На­чер­тим на ос­но­ва­нии мо­де­ли от­ре­зок и по­смот­рим на его от­ра­же­ния в зер­ка­лах. Чтобы от­ра­же­ния бы­ло про­ще ана­ли­зи­ро­вать, сле­ду­ет ещё на­ри­со­вать ка­кую-ни­будь несим­мет­рич­ную кар­тин­ку или по­ста­вить в угол ка­кой-ни­будь пред­мет.

Ес­ли зер­ка­ла об­ра­зу­ют угол в $120^\circ$ то от­ре­зок, от­ра­зив­шись в зер­ка­лах, даст пра­виль­ный тре­уголь­ник.

Ес­ли зер­ка­ла сдви­нуть так, чтобы угол меж­ду ни­ми был $90^\circ$, то от­ре­зок пред­станет квад­ра­том. По ори­ен­ти­ро­ван­но­сти ло­го­ти­па Ма­те­ма­ти­че­ских этю­дов в зер­ка­лах мож­но про­сле­дить сте­пень от­ра­же­ния.

Ос­нов­ное усло­вие ка­лей­до­ско­па — от­ра­жён­ную в зер­ка­лах кар­тин­ку на­блю­да­тель дол­жен ви­деть как ре­аль­ный объ­ект: ес­ли сме­щать­ся от­но­си­тель­но зер­кал, то объ­ект ме­нять­ся не дол­жен. На­при­мер, квад­рат все­гда бу­дет оста­вать­ся квад­ра­том.

А вот ес­ли по­во­ра­чи­вать зер­каль­ную кни­гу как еди­ное це­лое (чтобы угол был все­гда пря­мой) от­но­си­тель­но ос­но­ва­ния и от­рез­ка, то квад­рат пре­вра­тит­ся в ромб.

Ес­ли угол меж­ду зер­ка­ла­ми бу­дет $72^\circ$, то в зер­ка­лах, как нетруд­но до­га­дать­ся, бу­дет ви­ден… пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник.

При уг­ле в $60^\circ$ — пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. Ес­ли вра­щать кни­гу как еди­ное це­лое от­но­си­тель­но ос­но­ва­ния, то в ка­кой-то мо­мент по­лу­чим пра­виль­ный тре­уголь­ник. Вни­ма­тель­ный зри­тель за­ме­тит, что изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка прин­ци­пи­аль­но от­ли­ва­ет­ся от слу­чая, ко­гда вра­ща­ли пря­мой угол: тре­уголь­ник, ко­неч­но, по­лу­чил­ся пра­виль­ным, а вот изоб­ра­же­ния ло­го­ти­па некор­рект­но.

При уг­ле $360^\circ/7$ груп­па от­ра­же­ний даст 7-уголь­ник.

Мож­но про­дол­жать и даль­ше: во всех слу­ча­ях, ко­гда угол меж­ду зер­ка­ла­ми бу­дет ви­да $360^\circ/n$, изоб­ра­же­ние в зер­каль­ной кни­ге бу­дет яв­лять­ся пра­виль­ным $n$-уголь­ни­ком. И оно все­гда бу­дет устой­чи­во!

А вот ес­ли угол меж­ду зер­ка­ла­ми бу­дет от­ли­чен от $360^\circ/n$, то воз­ле «ко­реш­ка» зер­каль­ной кни­ги бу­дут вид­ны лишь «об­лом­ки» ос­нов­ной об­ла­сти меж­ду зер­ка­ла­ми. При­чём при сме­ще­нии зри­те­ля от­но­си­тель­но зер­кал они бу­дут ещё и ме­нять­ся — ни­ка­ко­го ка­лей­до­ско­па не по­лу­чит­ся.

Ос­но­ва ка­лей­до­ско­пов — физи­че­ский за­кон, ко­то­рый хо­ро­шо де­мон­стри­ру­ет зер­каль­ная кни­га: от­ра­же­ние зер­ка­ла в зер­ка­ле сно­ва ра­бо­та­ет как зер­ка­ло.