Фут­боль­ный мяч: зер­каль­ный ико­са­эдр

Видео
Скачать
AVI video (768×576, 15.8 МБ)
MP4 video (768×576, 3.6 МБ)
В zip-архиве (AVI, 4.9 МБ)

00:00|00:00

Изображения

По­верх­ность клас­си­че­ско­го фут­боль­но­го мя­ча со­сто­ит из «слег­ка ис­крив­лён­ных» 12 пра­виль­ных пя­ти­уголь­ни­ков чёр­но­го цве­та и 20 пра­виль­ных бе­лых ше­сти­уголь­ни­ков.

Кста­ти, «клас­си­че­ским» та­кой мяч был не все­гда: впер­вые та­кие по­крой и рас­крас­ка бы­ли ис­поль­зо­ва­ны для офи­ци­аль­но­го мя­ча на чем­пи­о­на­те ми­ра в 1970 го­ду в Мек­си­ке. Чёр­но-бе­лая рас­крас­ка то­гда бы­ла вы­бра­на из со­об­ра­же­ний кон­траст­но­сти, чтобы мяч был луч­ше ви­ден на пре­об­ла­дав­ших в то вре­мя чёр­но-бе­лых теле­ви­зо­рах. Да и са­мо на­зва­ние — Telstar — он по­лу­чил в честь теле­ви­зи­он­но­го спут­ни­ка. В по­сле­ду­ю­щие го­ды рас­крас­ка офи­ци­аль­ных мя­чей ме­ня­лась, но по­крой оста­вал­ся неиз­мен­ным вплоть до чем­пи­о­на­та 2002 го­да.

С точ­ки зре­ния ма­те­ма­ти­ки, клас­си­че­ский фут­боль­ный мяч яв­ля­ет­ся усе­чён­ным ико­са­эд­ром. Этот факт и тео­рия групп, по­рож­дён­ных от­ра­же­ни­я­ми (в трёх­мер­ном слу­чае — мно­го­гран­ни­ков Кокс­те­ра), поз­во­ля­ет сде­лать про­стую в из­го­тов­ле­нии, но кра­си­вую мо­дель.

Сле­ду­ет взять зер­каль­ный трёх­гран­ный угол, со­став­лен­ный из оди­на­ко­вых рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. При длине ос­но­ва­ния $a$ бо­ко­вые сто­ро­ны, по ко­то­рым скле­и­ва­ют­ся тре­уголь­ни­ки в угол, долж­ны иметь дли­ну $r=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}\>a$ или с хо­ро­шей точ­но­стью $r\approx0{,}95\>a$. (На­при­мер, ес­ли взять $a=10$ см, то $r=9{,}5$ см.) Зер­каль­ный угол очень бли­зок к пра­виль­но­му тет­ра­эд­ру, но всё же от­ли­ча­ет­ся от него.

Ещё од­на необ­хо­ди­мая де­таль — (плос­кий) пра­виль­ный тре­уголь­ник, окра­шен­ный в бе­лый и чёр­ный цве­та так, что внут­рен­няя бе­лая об­ласть яв­ля­ет­ся пра­виль­ным ше­сти­уголь­ни­ком. (Для это­го сто­ро­ны чёр­ных тре­уголь­ни­ков на­до взять в три ра­за мень­ше сто­ро­ны ис­ход­но­го пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка.)

Ес­ли та­кой тре­уголь­ник вло­жить в трёх­гран­ный угол, вы уви­ди­те мо­дель клас­си­че­ско­го фут­боль­но­го мя­ча! При по­ка­чи­ва­нии уг­ла от­но­си­тель­но оси зре­ния кар­тин­ка ме­нять­ся не бу­дет.

Чтобы при от­ра­же­нии «мяч» был ви­ден пол­но­стью, вкла­ды­ва­е­мый тре­уголь­ник не дол­жен быть слиш­ком боль­шим. Вкла­ды­вать его на­до не даль­ше чем на треть вы­со­ты от вер­ши­ны зер­каль­но­го уг­ла. (Зна­чит, при ос­но­ва­нии зер­каль­но­го тре­уголь­ни­ка $a=10$ см дли­ну сто­ро­ны вкла­ды­ва­е­мо­го тре­уголь­ни­ка мож­но сде­лать рав­ной $3$ см, со­от­вет­ствен­но сто­ро­ны ма­лень­ких чёр­ных тре­уголь­ни­ков на нём — по $1$ см.)

Зер­каль­ные рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки про­ще все­го вы­ре­зать из пла­сти­ка с зер­каль­ным на­пы­ле­ни­ем. А скре­пить их мож­но с по­мо­щью скот­ча или ши­ро­кой изо­лен­ты, скле­ив вдоль бо­ко­вых сто­рон — рё­бер трёх­гран­но­го уг­ла.

Что же это за та­кой ма­ги­че­ский зер­каль­ный угол, в ко­то­ром при от­ра­же­ни­ях ви­ден фут­боль­ный мяч? (А на са­мом де­ле — ико­са­эдр, ко­то­рый ви­ден ещё бо­лее яв­но, ес­ли вло­жить од­но­цвет­ный тре­уголь­ник.)

Зер­каль­ный угол свя­зан с са­мим ико­са­эд­ром: его вер­ши­на рас­по­ло­же­на в цен­тре ико­са­эд­ра, а зер­ка­ла про­хо­дят через сто­ро­ны од­ной из гра­ней ико­са­эд­ра. От­сю­да по­лу­ча­ют­ся и усло­вия на сто­ро­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­ю­щих зер­каль­ный угол: ес­ли ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка $a$ — дли­на реб­ра ико­са­эд­ра, то бо­ко­вая сто­ро­на $r$ — ра­ди­ус опи­сан­ной око­ло ико­са­эд­ра сфе­ры.

А то, что кар­тин­ка в та­ком зер­каль­ном уг­ле бу­дет ико­са­эд­ром, га­ран­ти­ру­ет тео­рия групп, по­рож­дён­ных от­ра­же­ни­я­ми.