Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 40,1 Мбайт]   [DivX, 23,1 Мбайта]	[Zipped DivX, 38,5 Мбайт]  [Zipped DivX, 22,4 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый и невыпуклый многогранники? Конечно можно, скажете Вы. Один из примеров приведен на этом рисунке.

Мно­гогран­ник на­зывает­ся выпук­лым, если он ле­жит по од­ну сто­ро­ну от лю­бой плос­кос­ти, со­дер­жа­щей его грань.
Мно­гогран­ник на­зыв­ает­ся не­вы­пук­лым, если су­щес­тву­ет та­кая грань, что мно­го­гран­ник ока­зы­ва­ет­ся по обе сто­ро­ны от плос­кос­ти, со­дер­жа­щей эту грань.

Пусть из одинаковых наборов граней удалось сложить выпуклый и невыпуклый многогранник. У которого из них объем будет больше?

Оказывается можно так подобрать грани, что объем невыпуклого многогранника будет больше объема выпуклого, составленного из тех же граней. В фильме рассказывается о наилучшем известном таком примере.

Рассмотрим два треугольника (точные длины сторон будут указаны в конце фильма), которые и будут гранями будущих многогранников. Как мы видим, каждый треугольник одновременно становится гранью и в одном, и в другом многограннике. Тот многогранник, который строится слева, будет выпуклым, тот, что справа — невыпуклым.

Оба построенных многогранника — октаэдры (хотя и не правильные), т.е. имеют по 6 вершин и 8 граней.

Что такое в житейском смысле объем тела, в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито внутрь этого многогранника. Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый — еще нет. Но, возможно, вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы. Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит, объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.

Если посчитать аккуратно, то можно вычислить, что отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого равно 1,163.

В нашей задаче действительно правильнее рассматривать отношение объемов, а не их разницу, т.к. отношение не зависит от размеров изначальных треугольников, использованных в качестве граней для построения многогранников.

В рассмотренном примере объем построенного невыпуклого многогранника более чем на 16% больше объема выпуклого. Данные многогранники вы можете реализовать сами, используя грани с указанными сторонами. При этом, если центры октаэдров расположить в начале координат, то, с точностью до поворота, координаты вершин будут такие, как приведены в фильме.

В фильме рассмотрен пример построения двух многогранников, предложенный С.Н. Михалевым в 2002 году, в то время аспирантом механико-математического факультета МГУ. Это лучший из известных примеров (с максимальным известным отношением объемов многогранников).

Однако до сих пор неизвестно, насколько большим может быть отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого, составленного из тех же граней. Этот вопрос еще ждет своего исследователя!

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 40,1 Мбайт]   [DivX, 23,1 Мбайта]	[Zipped DivX, 38,5 Мбайт]  [Zipped DivX, 22,4 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

 • С.Н. Михалев. Изометрические реализации октаэдров Брикара 1-го и 2-го типов с известными значениями объема // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8, № 3. С. 755-768.