Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 22 Мбайта]   [DivX, 9,8 Мбайта]	[Zipped DivX, 19 Мбайт]  [Zipped DivX, 9,4 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Помните, как выглядел пакет молока в советское время? Удивительно, что вся страна покупала эти пакеты почти каждый день на протяжении более 20 лет, но мало кто сейчас помнит точно, что на них было нарисовано...

Но все конечно помнят, что пакет молока был в виде тетраэдра (правильной треугольной пирамиды). Изобрела пакеты в виде тетраэдра фирма ТетраПак (Tetra Pak) в 40-х годах XX века, откуда и берет свое название. В те годы эта фирма сделала два важных нововведения. Во-первых,  жидкие продукты начали наливать в картон. Во-вторых, изготовление тетраэдральных пакетов было настолько простым, что его можно было поместить прямо на молокозаводах.

Вот так выглядел наиболее распространенный пакет молока в Советском Cоюзе. Красные и синие треугольники, имел форму тетраэдра (конечно, с небольшими искажениями).

Можно ли из куска картона, из которого сделан этот молочный пакет, сделать пакет с большим объемом, чем сам тетраэдр?

Математически задача формулируется так: можно ли из развертки тетраэдра сделать многогранник с большим объемом?

Александр Данилович АЛЕКСАНДРОВ (1912-1999) — рос­сий­ский ма­те­ма­тик, ис­сле­до­вав­ший об­шир­ный круг воп­ро­сов, вклю­чая гео­мет­рию вы­пук­лых тел, те­орию ме­ры, те­орию диф­ференци­аль­ных урав­не­ний в част­ных произ­вод­ных и ма­те­ма­ти­чес­кие ос­но­ва­ния тео­рии от­но­си­тель­нос­ти

По теореме А.Д. Александрова выпуклый многогранник с той же разверткой, но большим объемом сделать нельзя. Но может быть можно сделать невыпуклый с большим объемом?

Удивительно, но оказывается что можно!

Давайте проследим за конструкцией, предложенной Дэвидом Бликером в 1996 году. Разведем грани и на каждой добавим дополнительные вершины и ребра. Возьмем центральный правильный треугольник,  определенный соотношением, что его сторона в два раза больше расстояния от его вершины до стороны грани. Проведем дополнительные ребра.

Те же построения сделаем на каждой грани. Изогнем каждую грань следующим образом — углы и середины сторон в сторону центра, а центральный треугольничек — от центра. Все грани изогнуты одинаково, и их можно склеить в многогранник. Некоторые новые грани лежат в одной плоскости и ребра между ними исчезают.

Подсчитаем объем получившегося многогранника. Для этого разобьем его на части. Полученный многогранник состоит из 4 одинаковых шестиугольных пирамидок и фигуры, которая является усеченным тетраэдром. Чтобы проще посчитать объем, добавим усеченные у тетраэдра углы — маленькие тетраэдры, а от получившегося значения объема отнимем объем добавленных кусочков.

Оказывается, что объем полученного таким способом многогранника больше чем на 37.7 процентов превосходит объем изначального тетраэдра, имеющего ту же развертку! Т.е из куска картона, из которого делались тетрадральные пакеты, можно делать пакеты которые вместительнее более чем на треть!

Удивительно, но тетраэдр не является исключением. Оказывается, что из развертки любого выпуклого многогранника с треугольными гранями можно сделать невыпуклый многогранник с большим объемом. Эту теорему доказал в 1996 году Д. Бликер и привел алгоритм, как это делать.

В своей статье, кроме многогранников с треугольными гранями, Д. Бликер рассмотрел два правильных многогранника, не попадающие в этот класс — куб и додекаэдр. Из их разверток также можно сложить невыпуклые многогранники с большим объемом, чем у изначальных выпуклых. В 2005 году, когда создавался фильм, математики верили, что верна

Гипотеза

Из развертки любого выпуклого многогранника всегда можно сложить невыпуклый многогранник с большим объемом.

Нерешенные задачи

Доказать (или опровергнуть) гипотезу.

Насколько большим может быть объем невыпуклого многогранника, сложенного из развертки тетраэдра? Другого данного выпуклого многогранника?

Летом 2006 года, двумя математиками — аспирантом МГУ Гурием Самариным и Игорем Паком из MIT — независимо друг от друга было доказано, что гипотеза верна. Условие треугольности граней было лишь техническим моментом, позволившем Бликеру доказать свою теорему, но в задаче оно не по существу — теорема верна и без этого условия. 

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 22 Мбайта]   [DivX, 9,8 Мбайта]	[Zipped DivX, 19 Мбайт]  [Zipped DivX, 9,4 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

 • David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry. 1996. V. 43. P. 505-526.
 • I. Pak. Inflating polyhedral surfaces.