Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 46,5 Мбайта]   [DivX, 8 Мбайт]	[Zipped DivX, 44,3 Мбайта]  [Zipped DivX, 7,5 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

В каком месте нужно взять кирпичик, чтобы он не перевешивал ни в какую сторону? Конечно, посередине. Центр тяжести одного кирпича находится на средней линии. Значит, этот кирпич можно положить на другой, сместив относительно нижнего на половину длины, и он не упадет.

А в каком месте нужно поднимать построенную систему? Нетрудно посчитать, что центр тяжести нашей конструкции из двух кирпичей находится на прямой, смещенной на 1/4 длины кирпича. Действительно, центр тяжести верхнего кирпича проецируется на границу нижнего, такая же масса расположена посередине нижнего кирпича. Значит, центр тяжести системы находится ровно посередине половины кирпича, т.е. на расстоянии 1/4 длины от края.

Трактор привозит еще один кирпич.  Как мы уже посчитали, верхние два могут быть сдвинуты относительно него на одну четверть длины.

Бабочка — существо легкое, погрузчику приятно поиграть с ней. Но вот она садится на кирпичи. Если она села в точку, которая проецируется на нижний кирпич, то построенная лестница не развалится. Но вот она перелетела и села чуть правее, и лестница  начала разваливаться. Погрузчику приходится торопиться, чтобы поддержать построенную конструкцию и не дать упасть. Это еще раз показывает, что сдвиги на 1/2 и 1/4   длины  кирпичей являются максимальными, когда конструкция еще устойчива без цемента, а только под действием силы тяжести кирпичиков.

А где находится центр тяжести системы из трех кирпичей? Центр тяжести системы верхних двух кирпичей проецируется на самую границу нижнего. Его же центр тяжести находится посередине. Но теперь массы, приложенные к этим двум точкам, неодинаковые — справа масса двух кирпичей, а слева только одного. Значит линия, содержащая центр тяжести системы трех кирпичей с рассматриваемыми сдвигами, делит расстояние между половиной кирпича и краем в отношении 2:1, считая от центра. Т.е. проходит на расстоянии 1/6 длины кирпича от края.

Таким методом можно посчитать, что, не желая пользоваться цементом, мы можем строить лестницу, сдвигая систему из верхних n кирпичей относительно края нижнего на 1/2n длины кирпича. Так мы и будем строить, получая на каждом шаге максимальный возможный сдвиг по горизонтали.

Рассмотрим первые сдвиги уже построенной лестницы. Это 1/2, 1/4, 1/6, 1/8. Не трогая первые два члена, сгруппируем 1/6 и 1/8, как математики говорят, в "блок".  Задвинем верхний кирпичик так, чтобы все сдвиги в блоке были одинаковые и равнялись наименьшему, т.е. 1/8. Тогда суммарный сдвиг получится 2•1/8=1/4. Таким образом, сдвиг по горизонтали, даваемый этим блоком, больше (мы же задвигали один кирпичик) 1/4 длины кирпича.

Как разбивать на блоки нашу лестницу – в нашем распоряжении. И следующий блок, который мы рассмотрим, будет состоять из четырех кирпичиков. Это даст нам общий сдвиг на 1/10+1/12+1/14+1/16. Чтобы оценить  сдвиг в каждом блоке, будем поступать одинаково. Повторим действие, сделанное в первом блоке — задвинем верхние кирпичики так, чтобы их сдвиг равнялся наименьшему в блоке.  Получим, что  к горизонтальной длине лестницы 4  раза прибавляется  по 1/16, т.е. 4•1/16=1/4 длины кирпича.  Значит, сдвиг по горизонтали, даваемый этим блоком, тоже больше 1/4 длины кирпича.

Вы уже усмотрели общую схему? Следующий блок будет состоять из 2³ кирпичиков, и наименьший сдвиг будет на 1/2⁵ длины кирпича. Соответственно, общий сдвиг, даваемый этим блоком, будет тоже больше 1/4=2³•1/2⁵.

Таким способом можно разбить всю нашу лестницу на блоки. Блок с номером n будет состоять из 2ⁿ кирпичиков, и наименьший сдвиг в нем будет на 1/2ⁿ⁺² длины кирпича. Общая длина блока будет больше чем 2ⁿ•1/2ⁿ⁺²=1/4.

Домножим  каждый член ряда на 2, а затем сократим дроби. Мы получим ряд
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+...+1/n+...
Этот ряд называется гармоническим. Он играет большую роль и в каком-то смысле является пограничным. Если Вы будете строить лестницу (уже с использованием цемента) со сдвигами большими, чем 1/n (т.е в знаменателе будет стоять число меньше n), то такая лестница уйдет по горизонтали в бесконечность.

В математике подобное свойство называют расходимостью ряда — какое бы ни было задано наперед большое число, всегда можно взять столько членов ряда, что их сумма будет больше заданного числа. Один из критериев расходимости — сравнение с гармоническим рядом.

Удаляясь, машинки беседуют:
– Удивительно, неужели лестница окажется и над этим местом?
– Мы же показали, что можно взять сколь угодно много блоков, каждый по длине больше 1/4 длины кирпича...

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 46,5 Мбайта]   [DivX, 8 Мбайт]	[Zipped DivX, 44,3 Мбайта]  [Zipped DivX, 7,5 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

  • В.А. Уфнаровский. Математический аквариум. - Кишинев: Штиница, 1987. 216 с.