Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 37 Мбайт]   [DivX, 10 Мбайт]	[Zipped DivX, 33 Мбайта]  [Zipped DivX, 9 Мбайт]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Поместим на сферу N одинаковых зарядов. К каким расположениям будут стремиться заряды, пытаясь минимизировать потенциальную энергию системы?

Данная задача возникла у Дж.Дж. Томсона при изучении планетарной модели атома. На рубеже XIX и XX веков он проводил эксперименты по нахождению наилучших расположений для небольших количеств зарядов.

Джосеф Джон Томсон (J.J. Thomson) — ан­глий­ский фи­зик, ро­дил­ся 18 де­каб­ря 1856 г.  В 1884 г. из­бран тре­тьим Cavendish Professor. Яв­лял­ся ру­ково­дите­лем Cavendish Laboratory, Cambridge. В 1897 г. экспе­римен­тал­ьно от­крыл су­щест­во­ва­ние элек­тро­нов, а в 1906 г. по­лу­чил за это Но­бе­лев­скую пре­мию. Умер 30 ав­гус­та 1940 г. Се­ме­ро его ассис­тен­тов ста­ли лау­реа­та­ми Но­бе­лев­ской пре­мии.

После появления компьютеров проводилось множество численных экспериментов. Однако только в конце XX века некоторые частные случаи были решены математически строго.

Рассмотрим, под действием каких сил двигаются электроны в задаче. Для этого зафиксируем несколько зарядов и рассмотрим силы, которые будут действовать на подвижный заряд.

Взаимодействие двух зарядов, находящихся  в трехмерном пространстве, определяется потенциалом Ньютона, обратно пропорциональным расстоянию между зарядами. Значит, чем ближе расположены заряды, тем больше сила их взаимодействия.

Результирующая сила равна сумме всех сил, действующих на рассматриваемый подвижный заряд. Разложим вектор силы на две составляющие: перпендикулярную к сфере и касательную. Перпендикулярная составляющая пытается вытолкнуть заряд со сферы. Значит, на движение электрона в задаче Томсона влияния она не оказывает. Касательная составляющая определяет направление и скорость движения заряда в следующий момент.

Движение свободного заряда прекратится, когда сила, действующая на него, будет перпендикулярна сфере (т.е. касательная составляющая силы будет равна нулю).

В случае системы свободных зарядов движение останавливается, когда для каждого заряда сила, действующая на него, перпендикулярна сфере.

Расположим на сфере N одинаковых свободных зарядов и посмотрим, какую конфигурацию будет стремиться занять эта система.

Рассмотрим случаи, когда экстремальность полученных конфигураций удалось доказать математически строго.

N=2.  Два электрона расположатся в диаметрально противоположных точках.

N=3.  Через любые три точки можно провести плоскость. Плоскость пересекается со сферой по окружности. Значит, три электрона располагаются на окружности, а следовательно на большой окружности сферы и в вершинах правильного треугольника.

N=4. Четыре электрона расположатся в вершинах правильного тетраэдра.

При N=2,3,4 в экстремальной конструкции все попарные расстояния между электронами одинаковы. Значит, для доказательства экстремальности приведенных конфигураций можно воспользоваться классическими неравенствами о среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом. При оценке снизу потенциальной энергии системы в этих случаях перечисленные неравенства дают точные оценки, так как на экстремальных конструкциях обращаются в равенства.

N=6. Шесть электронов расположатся в вершинах правильного октаэдра (эту конфигурацию можно мыслить как точки пересечения осей координат трехмерного пространства со сферой).

N=12. Двенадцать электронов расположатся в вершинах икосаэдра — правильного многогранника с 20 треугольными гранями и 12 вершинами.

Удивительно, но спустя век после постановки задача Томсона в трехмерном пространстве решена только для случаев 2-х, 3-х, 4-х, 6-ти и 12-ти электронов на сфере. В других случаях экстремальность какой-либо конфигурации математически не доказана.

В качестве решения задачи Томсона мы встретили три из пяти правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр и икосаэдр. А что же дают два других правильных многогранника?

N=8. В случае восьми электронов задача не решена. Однако легко показать, что куб не является наилучшим (в смысле минимума потенциальной энергии) расположением. Если «свернуть голову» кубу, т.е. повернуть одно основание относительно другого на 45°, получится антипризма. Внутри каждого из двух оснований энергия взаимодействия зарядов не изменяется, однако расстояние между электронами разных оснований увеличивается. Значит, антипризма лучше, чем куб, однако является ли она или какая-то другая конфигурация наилучшим расположением электронов, не доказано.

N=20. В случае двадцати электронов, так же как и в случае восьми, можно привести расположение, которое обладает меньшей потенциальной энергией, чем додекаэдр.

Рассмотрим первый нерешенный случай — пяти электронов на сфере. Численные расчеты показывают, что наилучшее расположение электронов следующее: три электрона в вершинах правильного треугольника, вписанного в экватор, и два электрона по полюсам. Однако математически доказать то, что эта конструкция является наилучшей, пока не удается.

На примере пяти электронов рассмотрим понятие равновесной конфигурации.  Задача Томсона состоит в нахождении расположения зарядов,  соответствующего глобальному минимуму потенциальной энергии системы. Существуют и другие конфигурации, придя к которым система стабилизируется. Они и называются равновесными. Однако энергия таких конфигураций может быть не минимальной. Кроме того, эти конфигурации не являются устойчивыми: если пошевелить один или несколько зарядов в ней, то конфигурация распадается.

Если изначально брошенные на сферу электроны все оказались на экваторе, то никуда с экватора они не уйдут (нет сил, выталкивающих их с экватора, все силы взаимодействия лежат в плоскости экватора). Расположатся они в вершинах правильного пятиугольника.   

Рассмотрим еще одну равновесную конфигурацию. Четыре электрона в вершинах квадрата и один на перпендикулярной к этой плоскости прямой. Конфигурация так и останется четырехугольной пирамидой, подобрав наилучшую для минимума энергии высоту.

При увеличении числа зарядов количество равновесных конфигураций стремительно растет. Это осложняет исследование задачи методами численного моделирования, даже при использовании мощных современных компьютеров.

Важные приложения имеет задача Томсона в пространствах других размерностей.

В случае двумерного пространства, т.е. плоскости, сфера — это окружность. Значит, система N одинаковых зарядов находится на окружности. Пытаясь минимизировать потенциальную энергию системы, они расположатся в вершинах правильного N -угольника.

В размерностях больше трех задача Томсона решена математически строго лишь в редких случаях.

Например, доказано, что в 4-х мерном пространстве 120 электронов расположатся в вершинах правильного многогранника, имеющего соответствующее число вершин.

Некий рекорд поставлен в 24-х мерном пространстве. Минимум потенциальной энергии системы из 196560 зарядов на сфере этого пространства достигается, если заряды расположены в концах минимальных векторов знаменитой решетки Лича.

Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) — рус­ский ма­тематик и ме­ха­ник. На­чал ис­сле­до­ва­ния по но­вым нап­рав­ле­ниям в раз­ных об­лас­тях: тео­рии приб­ли­же­ния фун­кций, тео­рии ве­ро­ятнос­тей, тео­рии чи­сел, ин­тег­раль­ном ис­чис­ле­нии и т.д. Соз­датель из­вест­ных ме­ха­низ­мов. Яв­лял­ся чле­ном Петер­бург­ской, Бер­лин­ской и Бо­лон­ской акаде­мий, Париж­ской Акаде­мии наук, чле­ном-кор­респон­ден­том Лон­дон­ско­го Ко­ро­лев­ского об­щес­тва, Швед­ской ака­де­мии наук.

Известные точные решения задачи Томсона получены методами теории приближения функций. Эта область науки, развитая российским математиком  Пафнутием Львовичем Чебышевым и его учениками, является мощным методом решения разного круга задач.

Отметим, что в фильме не учитывались динамические эффекты, возникающие при движении зарядов. Такая модель возможна, если между зарядами и сферой есть сила трения.

Аккуратно, с точки зрения физики, задача Томсона может быть сформулирована так: в какие точки на сфере нужно поместить N одинаковых зарядов, чтобы конфигурация соответствовала минимальной потенциальной энергии системы?

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 37 Мбайт]   [DivX, 10 Мбайт]	[Zipped DivX, 33 Мбайта]  [Zipped DivX, 9 Мбайт]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

 • L.L. Whyte Unique arrangements of points on a sphere // The American Mathematical Monthly. 1952. V. 59, N 9. P. 606-611.
 • В.А. Юдин Минимум потенциальной энергии точечной системы зарядов // Дискретная математика. 1992. Т. 4, вып. 2. С. 115-121.
 • N.N. Andreev One extremal property of the icosahedron // East Journal on Approximation. 1996. V. 2, N 4. P. 301-304.
 • Н.Н. Андреев, В.А. Юдин Экстремальные расположения точек на сфере // Математическое просвещение (третья серия). 1997. Вып. 1. С. 115-121. (В этой статье приведено научно-популярное изложение решений задачи Томсона в трехмерном случае. Если Вы хотите исследовать задачу, изучение литературы стоит начать с этой статьи).

Точные решения частных случаев задачи в высших размерностях и других потенциалах:

 • А.В. Колушов, В.А. Юдин О конструкции Коркина-Золотарева // Дискретная математика. 1994. Т. 6, вып. 1. С. 155-157.
 • A.V. Kolushov, V.A. Yudin Extremal dispositions of points on a unit sphere // Analysis Mathematica. 1997. V. 23, N 1.
 • Н.Н. Андреев Расположение точек на сфере с минимальной энергией // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 1997. Т. 219. С. 27-31.
 • Н.Н. Андреев Минимальный дизайн 11-го порядка на трехмерной сфере // Математические заметки. 2000. Т. 67, N 4. С. 489-497.