Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 3,2 Мбайт]  [DivX, 0,9 Мбайта]	[Zipped DivX, 2,3 Мбайта] [Zipped DivX, 0,8 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Карл Густав Якоби жил в первой половине XIX века. Для своих естественнонаучных исследований он разработал систему ортогональных многочленов, которые потом получили его имя. При заданных значениях параметров α и β (больших чем -1) многочлен Якоби P_k^(α,β) является многочленом степени k и имеет столько же нулей на отрезке [-1,1].

Понятие ортогональности, т.е. перпендикулярности, перекочевало из геометрии и в другие области математики. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. По аналогии, два многочлена называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Только в нашем случае под скалярным произведением понимается интеграл по отрезку [-1,1] от произведения рассматриваемых многочленов, умноженного на специальную функцию, называемую весом.

Системы ортогональных многочленов играют большую роль в самой математике и в прикладных вопросах. Возникающие в процессе исследования функции, свойства которых необходимо изучить, можно с той или иной степенью точности приблизить линейной комбинацией рассматриваемых ортогональных многочленов. Далее можно изучать уже поведение не самой функции, а приближающей конструкции, что зачастую существенно проще и удобнее.

Изучение ортогональных многочленов и их свойств — это большой и интересный раздел математики, имеющий и важное прикладное значение.

Как это зачастую бывает в науке, некогда выдуманная хорошая конструкция находит интересные применения в различных вопросах. Так и многочлены Якоби, а точнее, их нули, оказались решением важной задачи, возникшей существенно позднее, нежели были введены сами рассматриваемые многочлены.

Пусть на концах отрезка [-1,1] закреплены положительные заряды величины q и p. Внутри отрезка случайным образом поместили k единичных зарядов, которые могут свободно перемещаться по нему, но покидать отрезок им запрещено. Т.к. заряды одинакового знака, то они стараются разбежаться как можно дальше друг от друга. Как расположатся заряды, пытаясь минимизировать потенциальную энергию системы? В нахождении оптимального расположения, когда силы, действующие на каждый заряд справа и слева, равны, и состоит задача.

Для знакомства с задачей рассмотрим частные случаи.

Пусть на левом конце отрезка закреплен заряд, равный 3, а на правом — равный 5. Поставим в произвольные точки три единичных заряда, имеющих возможность свободно перемещаться по отрезку, и посмотрим на поведение системы. Когда движение остановится, нарисуем на том же отрезке многочлен Якоби P₃^{(9, 5)}. Оказывается, что заряды остановились в нулях этого многочлена!

Давайте проэксперементируем еще раз. Зафиксируем на левом конце заряд, равный трем, а на правом — равный двум. Поместим внутри отрезка четыре единичных заряда и понаблюдаем за системой. Когда заряды перестанут двигаться, они окажутся в нулях многочлена Якоби P₄^{(3, 5)}.

В общем случае наблюдаемая зависимость тоже верна. Если на левом конце отрезка [-1,1] находится заряд, равный q, а на правом — равный p, между ними находятся k единичных зарядов, то минимум потенциальной энергии такой системы будет достигаться, если «внутренние» заряды будут расположены в нулях многочлена Якоби P_k^{(2p-1, 2q-1)}.

Вот так некогда придуманная система ортогональных многочленов Якоби возникла при решении задачи из совершенно другой естественнонаучной области. А также проявляет свои свойства и во многих других задачах, как и любая «хорошая конструкция».

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 3,2 Мбайт]  [DivX, 0,9 Мбайта]	[Zipped DivX, 2,3 Мбайта] [Zipped DivX, 0,8 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

 • Г. Сеге. Ортогональные многочлены. — М.: Физматлит, 1962.