Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 13,2 Мбайта]  [DivX, 4,7 Мбайта]	[Zipped DivX, 11,5 Мбайта] [Zipped DivX, 4,5 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Альбрехт Дюрер (Dürer Albrecht, 1471–1528) — великий немецкий художник. Он  занимался и теоретическими вопросами изобразительного искусства, в частности, изучал проблемы перспективы. Часть своей книги «Наставления в искусстве измерений  с помощью циркуля и линейки, плоские  и пространственные тела» 1525 года он посвятил изучению свойств геометрических объектов, в том числе, многогранников и их разверток.

Реберная развертка многогранника состоит из набора многоугольников, расположенных без пересечений в одной плоскости, и условий склейки границ этих многоугольников. Если какое-то разрезание многогранника по ребрам позволяет обойтись одним многоугольником, при этом не нарушив условия непересечения, то такая реберная развертка называется связной.

На страницах своей книги Дюрер приводит связные реберные развертки нескольких, иногда довольно сложных, многогранников. Вряд ли он задумывался над тем, всегда ли это возможно и хватает ли для изображения развертки одного многоугольника, но следующее предположение часто называют его именем. Гипотеза Дюрера состоит в том, что любой  выпуклый многогранник имеет хотя бы одну связную реберную развертку.

Почему же развертки многогранников вызывают не проходящий на протяжении столетий интерес? Дело в том, что развертка сохраняет внутреннюю геометрию многогранника, а именно, ту информацию, которую может получить точечное существо, живущее на поверхности многогранника и не умеющее покидать ее. При таких условиях жизни существо имеет возможность лишь измерять расстояние между точками. При наличии математических способностей существо, используя расстояния, может определять углы между направлениями, считать площадь какой-то области, …

Для некоторых целей использование развертки «удобнее», нежели использование самого многогранника. Например, если Вы хотите переслать модель многогранника в другой город, то необходимо отправить посылку. Но для того чтобы послать развертку многогранника, достаточно отправить всего лишь письмо, получив которое адресат сможет собрать выпуклый многогранник самостоятельно. Если Вы думаете, что транспортировка многогранников — это редко встречающаяся операция, то ошибаетесь! Результат этого действия все мы используем в повседневной жизни, покупая пакет сока или молока…

Гипотеза Дюрера говорит о выпуклых многогранниках. Она не доказана и не опровергнута и по сей день. Но если изначальная научная проблема не поддается решению, стоит изменить какие-то условия и попытаться решить  получившуюся задачу. В нашем случае естественно изучить аналог гипотезы для более широкого класса многогранников, включив в рассмотрение и невыпуклые многогранники.

Построить невыпуклый многогранник с не обязательно выпуклыми гранями и не имеющий ни одной связной реберной развертки легко. Возьмем в качестве основания невыпуклую звезду и построим на ней пирамиду. Выбирая углы звезды и высоту пирамиды, можно достичь того, что если хотя бы одна боковая грань не отсоединена от основания, то при развертывании она обязательно пересечется со звездой. Значит, основание должно быть отделено от всех боковых граней и развертка уже не будет связной.

Придумать невыпуклый многогранник со всеми выпуклыми гранями и не имеющий ни одной связной реберной развертки уже не так легко. Первый пример был построен только в 1999 году.

Отложим от вершин тетраэдра вдоль всех его ребер одинаковое небольшое расстояние. Зафиксируем основания получившихся пирамидок, образованные отложенными точками, а вершины начнем удалять от центра тетраэдра. Все грани такой конструкции — выпуклые многоугольники. Если основание «шипов» достаточно маленькое, а сами они — высокие, то получившийся невыпуклый многогранник не имеет ни одной связной реберной развертки. Можно показать, что если бы «шипованный» многогранник обладал связной реберной разверткой, то тогда хотя бы один «шип» должен иметь такую же развертку, однако это не так. Действительно, рассмотрим «шип» и прилегающие к нему куски граней изначального многогранника. Всевозможные реберные развертки этой части многогранника, состоящие из одного куска, будут самопересекающимися.

Рассмотрев «невыпуклый контрпример» к гипотезе Дюрера, вернемся к  ее изначальным условиям — в класс выпуклых многогранников.

Самый простой выпуклый многогранник — треугольная пирамида: у нее 4 вершины и 4 грани. И даже в этом простейшем типе есть представители, у которых не все реберные развертки умещаются в плоскости без самопересечений. Однако все такие многогранники имеют и связные реберные развертки. До сих пор не построено ни одного выпуклого многогранника, имеющего только самопересекающиеся реберные развертки, состоящие из одного куска.

Недавно Н.П. Долбилиным была сформулирована задача — обсудить «анти-Дюрер» гипотезу. Она заключается в том, что для произвольного числа k существует выпуклый многогранник, такой, что для расположения без самопересечений в плоскости его реберной развертки необходимо разрезать ее не менее чем на k частей.

Отметим, что если гипотеза Дюрера неверна, то возможны два принципиально разных случая.

Ограниченный случай:  у любого выпуклого многогранника существует самонепересекающаяся реберная развертка, состоящая из не более чем K частей. При этом ограничивающее число K может быть выбрано одним и тем же для всего класса выпуклых многогранников, т.е. не зависит от конкретно взятого примера.

Более интересен неограниченный случай: на классе всех многогранников число необходимых листов не ограничено сверху.

«Анти-Дюрер» гипотеза как раз состоит в том, что мы попадаем в неограниченный случай.

Недавно ее аналог для невыпуклых многогранников (в неограниченном случае) был доказан российскими математиками.

Вы можете попробовать построить выпуклый многогранник, у которого все связные реберные развертки будут самопересекающимися, или доказать, что такого многогранника не существует. И, если Вы добьетесь успеха, в геометрию будет вписана новая красивая страница.

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 13,2 Мбайта]  [DivX, 4,7 Мбайта]	[Zipped DivX, 11,5 Мбайта] [Zipped DivX, 4,5 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

• А.С. Тарасов. Многогранники, не допускающие натуральных разверток // Успехи математических наук. 1999. Т. 54, вып. 3. С. 185-186.
• N.P. Dolbilin. Anti-Durer Conjecture // Rigidy and Stability Workshop, Open problems session. Viena, Shrodinger Institute 2006.
• А.А. Глазырин, А.С. Тарасов. Аналог Анти-Дюрер гипотезы для невыпуклых многогранников // Труды международного семинара по дискретной математике 2007.