Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 13,2 Мбайта]  [DivX, 2,97 Мбайта]	[Zipped DivX, 11,8 Мбайта] [Zipped DivX, 2,72 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Задача о трисекции угла состоит в том, чтобы разделить данный угол на три равные части.

Вместе с еще двумя классическими задачами на построение — удвоении куба и квадратуры круга — задача о трисекции угла пришла из Древней Греции и на протяжении многих столетий занимала умы людей. Неоднократно пытались решить эти три задачи с помощью освященных евклидовой геометрией инструментов — циркуля и линейки. Между тем, уже в древности математики догадались, что при использовании только циркуля и линейки эти задачи неразрешимы, а позднее это было и доказано. Попытки расширить инструментарий оказали большое влияние на древнегреческую математику, привели и к первым исследованиям конических сечений, и к исследованию сложных кривых, и к построению интересных инструментов.

Рассмотрим шарнирный механизм, являющийся параллелограммом с двумя закрепленными шарнирами. Из курса школьной математики Вы помните, что противоположные углы параллелограмма равны. Это верно для любого параллелограмма, а значит, и для любого изгибания нашего механизма.

А для любого ли изгибания?

У нашей системы есть одна особая точка — когда все звенья легли на одну прямую . Из этой точки бифуркации механизм может выйти, снова став параллелограммом,  а может перейти в фигуру, которая называется антипараллелограмм.

Альфред Брей Кемпе (Alfred Bray Kempe, 1849–1922) — англи­чанин, адво­кат по профес­сии, мате­матик по приз­ванию. В 1879 году публи­кует реше­ние проб­лемы четы­рех красок. Коро­лев­ское мате­мати­ческое общес­тво тотчас же изби­рает его своим чле­ном, позд­нее он возве­ден в рыцар­ское зва­ние за вклад в разви­тие мате­мати­ки. В «дока­затель­ство» Кемпе верили 11 лет. Но в 1890 году Перси Хивуд публи­кует рабо­ту, потряс­шую мате­мати­ческий мир: он  указал принци­пиаль­ную ошибку в рас­суж­де­ниях Кемпе. Однако неко­торые идеи  его «дока­затель­ства» были правиль­ные и через век были исполь­зованы в компью­терном дока­затель­стве проблемы.

Именно в этой особенности рассматриваемого шарнирного механизма и заключалась ошибка в рассуждениях Альфреда Кемпе, «доказавшего» в 1876 году теорему о том, что существует шарнирный механизм, который умеет подделывать Вашу подпись и ничего кроме нее рисовать не умеет. Более точно — что любая ограниченная часть плоской  алгебраической кривой является траекторией шарнира некоторого плоского шарнирного механизма. Сама теорема верна, однако ошибку в доказательстве Кемпе нашли лишь в 1984 году и исправили только к концу XX века.

От параллелограмма антипараллелограмм унаследовал то, что две противоположные стороны равны между собой, и две накрест лежащие стороны также равны между собой. Оказывается, у нашей фигуры есть и соотношение на углы — у антипараллелограмма они попарно равны!

Прибавим к нашему антипараллелограмму более маленький, но подобный первому. У них есть один общий угол, а значит, углы при красном шарнире тоже равны.

Вытягивая направляющие прямые, получаем плоский шарнирный механизм, который можно применять для построения биссектрисы любого угла.

Можно прибавить еще один подобный антипараллелограмм. По тем же соображениям его угол при красном шарнире будет равен уже двум имеющимся.

Получившийся плоский шарнирный механизм является трисектором углов —  решает задачу о делении произвольного угла на три равные части!    

На этом Кемпе останавливается, т.к. для его «доказательства» теоремы «о подписи» нужен был механизм, делящий угол именно на три части. Однако, очевидно, использованный алгоритм построения можно продолжать и дальше, получая шарнирные механизмы, точно делящие произвольный угол  на любое наперед заданное число частей.

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 13,2 Мбайта]  [DivX, 2,97 Мбайта]	[Zipped DivX, 11,8 Мбайта] [Zipped DivX, 2,72 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

 • Alfred Bray Kempe. How to draw a straight line: a lecture on linkages. — Macmillan & Co., 1877.
 • Erik D. Demaine, Joseph O’Rourke. Geometric folding algorithms: linkages, origami, polyhedra. — Cambridge Univ. Press, 2007. P. 31–33.