Математические этюды : Этюды : Изгибаемые многогранники


Скачать фильм в высоком качестве Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576 — 320×240	[DivX, 44,6 Мбайта] [DivX, 20,7 Мбайта]	[Zipped DivX, 43,0 Мбайта] [Zipped DivX, 20,2 Мбайта]
Скачать локальную версию сайта
Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Если Вам приходилось собирать дома шкаф, то Вы прекрасно помните, что пока не прибита задняя стенка, он изгибается. Как только задняя стенка поставлена на место, шкаф — незамкнутый многогранник с краем, становится жестким. Если к нему добавить переднюю стенку или сделать на крае любую другую надстройку, замыкающую многогранник, то жесткость, конечно, останется.

Бывают ли замкнутые изгибаемые многогранники?

Ответ на этот вопрос долго не могли найти. Как обычно в науке, при исследовании задачи следует рассмотреть более простой случай. В случае задачи об изгибаемых многогранниках — рассмотреть задачу не в пространстве, а на плоскости, где аналогом многогранника является многоугольник.

Бывают ли изгибаемые многоугольники? Т.е. такие, у которых стороны фиксированы, в углах возможно изгибание (в плоскости), а сами многоугольники меняют форму? Такую модель каждый может изготовить из проволоки, используя стандартное соединение в углах.

Если таким способом сделать треугольник, то он не будет изгибаться. Т.е. длины сторон полностью определяют треугольник. А значит, определяют и его площадь — формула Герона позволяет вычислять её исходя только из длин сторон.

Если же сделать проволочные четырех- или пятиугольник, или же многоугольник с большим количеством вершин, то любой из них будет изгибаться. Как следствие — аналога формулы Герона, вычисляющей площадь многоугольника исходя только из длин сторон, при количестве углов большем трех, быть не может.

Вернемся в пространство. Что же такое изгибаемый многогранник, если он существует? По аналогии с плоской задачей, грани (имеющие размерность на единицу меньше размерности пространства) должны быть жесткими пластинами. А двугранный угол, соединяющий любые две грани, должен иметь возможность меняться, как будто ребро («грань», имеющая размерность один) реализовано с помощью рояльной петли.

Давайте рассмотрим правильные многогранники. Если сделать их модели «на рояльных петлях» в качестве ребер, то можно убедиться, что изгибаться они не будут. Оказывается, это общий факт для выпуклых многогранников. Теорема, доказанная французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789 – 1857) в 1813 году, говорит о том, что выпуклый многогранник с данным набором граней и условиями их склейки единственен. Т.е. выпуклый многогранник изгибаемым не бывает.

Первые математические примеры изгибаемых многогранников, естественно, невыпуклых, а также классификация этих объектов были построены бельгийским инженером Р. Брикаром в 1897 году. Математические, потому что эти многогранники были не только невыпуклыми, но и самопересекающимися — их грани пересекались друг с другом. С точки зрения математика, это тоже многогранник, однако реализовать его в нашем трехмерном пространстве невозможно. В 1975 году американский математик Р. Коннелли придумал, как избавиться от пересечения (так называемые «зарубки Коннелли»), и появились «настоящие» изгибаемые многогранники. Самый простой, известный на сегодняшний день, состоящий из 9 вершин, 17 ребер и 14 граней, будет сейчас построен. Его в 1978 году придумал немецкий математик Клаус Штеффен.

Развертка многогранника Штеффена состоит из двух одинаковых частей и «крышки». Даже помня внешний вид развертки, но не зная длин ребер, построить такой многогранник самому сложно — возможность изгибаться — это все же исключение для многогранников, и таких относительно мало.

Когда математики поняли, что изгибаемые многогранники бывают, возник вопрос, получивший название «гипотезы кузнечных мехов». За счет чего кузнечные мехи раздувают угли? За счет чего играет гармонь? Их принцип действия основан на изменении внутреннего объема. А что же изгибаемые многогранники — будет ли меняться их объем при изгибании? Можно ли кузнечные мехи или гармонь делать не из кожи, а из жестких пластин, в виде многогранников?

В конце XX века полный ответ на этот вопрос был найден российским математиком И.Х. Сабитовым. Оказывается, для объемов многогранников, в том числе изгибаемых, верен некий аналог формулы Герона для площади треугольника. А именно, существует такой многочлен одной переменной, что его коэффициенты зависят только от длин ребер многогранника, а объем есть корень этого многочлена. Т.к. ребра у изгибаемых многогранников не меняются, то и сам этот многочлен, а значит, и его корни не меняются при изгибании самого многогранника. Но различные корни многочлена одной переменной суть конкретные числа, расположенные друг от друга на каком-то расстоянии. При малых шевелениях многогранника объем может меняться мало, поэтому не может резко перепрыгнуть из одного корня многочлена в другой. Значит, объем изгибаемых многогранников не меняется при их изгибаниях!

Мы рассмотрели вопрос об изгибаемых многогранниках на плоскости (многоугольники) и в нашем обычном трехмерном пространстве. А что же происходит в больших размерностях? Изгибаемые многогранники там тоже существуют, хотя их и гораздо меньше. При этом вопрос об изменении или постоянстве объема изгибаемых многогранников в пространствах высшей размерности до сих пор не решен и ждет своего исследователя.


Скачать фильм в высоком качестве Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576 — 320×240	[DivX, 44,6 Мбайта] [DivX, 20,7 Мбайта]	[Zipped DivX, 43,0 Мбайта] [Zipped DivX, 20,2 Мбайта]
Скачать локальную версию сайта