Теорема о двух кругах⁠

Тео­рема о двух кругах явно предъяв­ляет каса­тель­ные к тра­ек­то­рии, опи­сы­ва­емой фик­си­ро­ван­ной точ­кой окруж­но­сти, катящейся без про­скаль­зы­ва­ния по неко­то­рой глад­кой линии. Раз­бе­рём тео­рему на при­мере цик­ло­иды, а затем при­ме­ним к эпицик­ло­и­дам и гипоцик­ло­и­дам.

По ⁠⁠тео­реме Копер­ника, если окруж­ность (круг) катится без про­скаль­зы­ва­ния по внут­рен­ней сто­роне окруж­но­сти вдвое большего ради­уса, то фик­си­ро­ван­ная точка малой окруж­но­сти движется по диаметру большой окруж­но­сти.

Если оба круга катятся без про­скаль­зы­ва­ния по прямой и касаются её в одной точке, то усло­вия тео­ремы Копер­ника выпол­няются, и фик­си­ро­ван­ная точка малой окруж­но­сти в каж­дый момент времени лежит на фик­си­ро­ван­ном диаметре большого круга.

При движе­нии без скольже­ния цен­тром каче­ния круга явля­ется точка каса­ния с прямой. А зна­чит, век­тор ско­ро­сти точки малой окруж­но­сти в каж­дый момент времени направ­лен по перпен­ди­ку­ляру к отрезку, соеди­няющему точку с цен­тром момен­таль­ного враще­ния — с точ­кой каса­ния круга с доро­гой. Раз угол 90 гра­ду­сов, век­тор ско­ро­сти смот­рит в верх­нюю в дан­ный момент точку малого круга. Таким обра­зом, его направ­ле­ние совпа­дает с направ­ле­нием диаметра большого круга.

При каче­нии по прямой фик­си­ро­ван­ная точка малой окруж­но­сти вычер­чи­вает цик­ло­иду. Век­тор ско­ро­сти этой точки явля­ется каса­тель­ной к тра­ек­то­рии, а зна­чит, каса­тель­ными к цик­ло­иде являются и диаметры большого круга.

Утвер­жде­ние тео­ремы о двух кругах оста­ётся вер­ным, если линия, по кото­рой катятся круги, не явля­ется прямой. Рас­смот­рим слу­чай эпицик­лоид.

Малый круг катится по окруж­но­сти такого же ради­уса. Его точка выри­со­вы­вает кар­дио­иду. Диаметры в два раза большего круга являются каса­тель­ным к этой кар­дио­иде.

Ана­лиз положе­ний диаметра большого катящегося круга при­во­дит к пра­вилу ⁠⁠«вяза­ния» кар­дио­иды $k\to 2k$. И, соот­вет­ственно, завершает дока­за­тельство того, что в кони­че­ской чашке мы видим ⁠⁠кау­стику в виде кар­дио­иды.

Если малый круг в два раза меньше круга, по кото­рому он катится, то его точка выри­со­вы­вает неф­ро­иду. Диаметры катящегося большого круга являются каса­тель­ным к этой неф­ро­иде.

Ана­лиз положе­ний диаметра большого катящегося круга при­во­дит к пра­вилу ⁠⁠«вяза­ния» неф­ро­иды $k\to 3k$. И, соот­вет­ственно, завершает дока­за­тельство того, что в цилин­дри­че­ской чашке мы ⁠⁠видим кау­стику в виде неф­ро­иды.

В каче­стве при­мера гипоцик­ло­иды рас­смот­рим аст­ро­иду: тра­ек­то­рию точки окруж­но­сти (малый круг), катящейся без про­скаль­зы­ва­ния по внут­рен­ней сто­роне окруж­но­сти вчет­веро большего ради­уса. Диаметры катящегося большого круга являются каса­тель­ными к аст­ро­иде и заме­тают её внут­рен­ность.